1-1 συνάρτηση

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ με $f(x) = x - \sin x$ .

(α) Να δειχθεί ότι

είναι

.

(β) Να λυθεί η εξίσωση $f^{-1}(x) = f(x)$ .

Δεν έχω λύση!

Al.Koutsouridis · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 19, 2020 11:55 am
Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ με $f(x) = x - \sin x$ .

(α) Να δειχθεί ότι είναι .

(β) Να λυθεί η εξίσωση $f^{-1}(x) = f(x)$ .

Δεν έχω λύση!

Έστω $x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}$ , έχουμε

$f(x_{1}) = f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}-\sin x_{1} = x_{2} -\sin x_{2} \Rightarrow x_{1}-x_{2} = \sin x_{1}-\sin x_{2} \Rightarrow$

$2 \dfrac{x_{1}-x_{2}}{2} = 2\sin \dfrac{x_{1}-x_{2}}{2} \cdot \sin \dfrac{x_{1}+x_{2}}{2} \Rightarrow$

Από την μία

$\left | \dfrac{x_{1}-x_{2}}{2} \right | = \left | \sin \dfrac{x_{1}-x_{2}}{2} \cdot \cos \dfrac{x_{1}+x_{2}}{2} \right| \geq \left | \sin \dfrac{x_{1}-x_{2}}{2} \right |$ , ( $|t| \geq |\sin t|$ για κάθε

πραγματικό)

και από την άλλη

$\displaystyle{\left | \dfrac{x_{1}-x_{2}}{2} \right | = \left | \sin \dfrac{x_{1}-x_{2}}{2} \cdot \cos \dfrac{x_{1}+x_{2}}{2} \right| \leq \left | \sin \dfrac{x_{1}-x_{2}}{2} \right |}$ , $| \cos t | \leq 1$ για κάθε

πραγματικό.

Οπότε $\displaystyle{\left | \dfrac{x_{1}-x_{2}}{2} \right | = \left | \sin \dfrac{x_{1}-x_{2}}{2} \right |}$

'Ομως $|t| \geq |\sin t|$ για κάθε

πραγματικό, με την ισότητα μόνο αν t=0

. 'Αρα θα έχουμε $\dfrac{x_{1}-x_{2}}{2} = 0 \Rightarrow x_{1}=x_{2}$ .

Οπότε η συνάρτηση είναι 1-1

.

Για το δεύτερο ερώτημα ειναι τα σημεία στα οποία μηδενίζεται η συνάρτηση $\sin x$ .

Tolaso J Kos · #3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 19, 2020 1:09 pm

Για το δεύτερο ερώτημα ειναι τα σημεία στα οποία μηδενίζεται η συνάρτηση $\sin x$ .

Γιατί; Δε το βλέπω;

stranger · #4

Μια άλλη ιδέα για να δείξεις ότι η

είναι 1-1 είναι να πεις ότι η

είναι αύξουσα επειδή η παράγωγος είναι μη αρνητική.
Αν υπήρχαν διαφορετικά σημεία με ίδια εικόνα τότε στο διάστημα που ορίζουν αυτά τα δύο σημεία έχουμε ότι η

είναι σταθερή η υπάρχει διάστημα που η

είναι γνησίως φθίνουσα(όλα αυτά λόγω συνέχειας) που και τα δύο φέρνουν άτοπο.

Λάμπρος Κατσάπας · #5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 19, 2020 1:14 pm

Γιατί; Δε το βλέπω;

Eιναι ισοδύναμη με την f(x)=x

αφού η

είναι γνησίως αύξουσα.

Tolaso J Kos · #6

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 19, 2020 1:58 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 19, 2020 1:14 pm

Γιατί; Δε το βλέπω;
Eιναι ισοδύναμη με την αφού η είναι γνησίως αύξουσα.

Είναι γνησίως αύξουσα , αλλά δεν αποδείχθηκε κάτι. Το πρώτο ερώτημα έδειξε μόνο ότι η

είναι

. Δε μας είπε κάτι για τη μονοτονία. Αν πάμε με παραγώγους καλή ώρα όπως εδώ

stranger έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 19, 2020 1:21 pm
Μια άλλη ιδέα για να δείξεις ότι η είναι 1-1 είναι να πεις ότι η είναι αύξουσα επειδή η παράγωγος είναι μη αρνητική.
Αν υπήρχαν διαφορετικά σημεία με ίδια εικόνα τότε στο διάστημα που ορίζουν αυτά τα δύο σημεία έχουμε ότι η είναι σταθερή η υπάρχει διάστημα που η είναι γνησίως φθίνουσα(όλα αυτά λόγω συνέχειας) που και τα δύο φέρνουν άτοπο.

ΟΚ. Αλλά το θέμα τέθηκε στο φάκελο Συναρτήσεις - Όρια - Συνέχεια.

Λάμπρος Κατσάπας · #7

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 19, 2020 2:04 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 19, 2020 1:58 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 19, 2020 1:14 pm

Γιατί; Δε το βλέπω;
Eιναι ισοδύναμη με την αφού η είναι γνησίως αύξουσα.

Είναι γνησίως αύξουσα , αλλά δεν αποδείχθηκε κάτι. Το πρώτο ερώτημα έδειξε μόνο ότι η είναι . Δε μας είπε κάτι για τη μονοτονία. Αν πάμε με παραγώγους καλή ώρα όπως εδώ

stranger έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 19, 2020 1:21 pm
Μια άλλη ιδέα για να δείξεις ότι η είναι 1-1 είναι να πεις ότι η είναι αύξουσα επειδή η παράγωγος είναι μη αρνητική.
Αν υπήρχαν διαφορετικά σημεία με ίδια εικόνα τότε στο διάστημα που ορίζουν αυτά τα δύο σημεία έχουμε ότι η είναι σταθερή η υπάρχει διάστημα που η είναι γνησίως φθίνουσα(όλα αυτά λόγω συνέχειας) που και τα δύο φέρνουν άτοπο.
ΟΚ. Αλλά το θέμα τέθηκε στο φάκελο Συναρτήσεις - Όρια - Συνέχεια.

Δεν μίλησα πουθενά για παραγωγό. Η απόδειξη ότι είναι γνησίως αύξουσα γίνεται και αλγεβρικά όπως το 1-1. Γράψε f(x_1)-f(x_2)

και προχωρά όπως στο 1-1.

Al.Koutsouridis · #8

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 19, 2020 1:14 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 19, 2020 1:09 pm

Για το δεύτερο ερώτημα ειναι τα σημεία στα οποία μηδενίζεται η συνάρτηση $\sin x$ .
Γιατί; Δε το βλέπω;

Οι γραφικές παραστάσεις των $f^{-1}(x), f(x)$ είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x

. Σε κάθε ενα από τα διαστήματα της μορφής $(k\pi, (k+1)\pi), k \in \mathbb{Z}$ οι γραφικές παραστάσεις των $f^{-1}, f$ είναι εκατέρωθεν της y=x

. Πράγματι

$f(x) > x \Leftrightarrow x-sin x > x \Leftrightarrow \sin x < 0 \leftrigharrow \quad x \in \cup (2k\pi, (2k+1)\pi)$

και αντίστοιχα για $f(x) <0 \Leftrightarrow \quad x \in \cup ( (2k-1)\pi, 2k\pi)$

Ας δούμε τι γίνεται σε μια λωρίδα μεταξύ των ευθειών y=-x

και $y=2\pi-x$ που αντιστοιχεί στο διάστημα $(0,\pi)$ . Στα υπόλοιπα διαστήματα ακολουθούμε την ίδια λογική.

Είναι $f(x) > -x \Leftrightarrow x-\sin x > -x \Leftrightarrow 2x > \sin x \Leftrightarrow x +(x-\sin x) > 0$ , που ισχύει αφού $x \in (0,\pi)$ .

$f(x) < 2\pi-x \Leftrightarrow x-\sin x < 2\pi-x \Leftrightarrow 2(x-\pi) < \sin x$ , που ισχύει αφού $x \in (0,\pi)$

Οπότε τα πιθανά σημεία τομής είναι πάνω στην y=x

. Δηλαδή $x-\sin x =x \Leftrightarrow -\sin x =0 \Leftrightarrow x=k\pi$ . Τα οποία και επαληθεύουν την δοθείσα εξίσωση.

1-1 συνάρτηση

1-1 συνάρτηση

Re: 1-1 συνάρτηση

Re: 1-1 συνάρτηση

Re: 1-1 συνάρτηση

Re: 1-1 συνάρτηση

Re: 1-1 συνάρτηση

Re: 1-1 συνάρτηση

Re: 1-1 συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση