ΣΥΝΕΧΕΙΑ-ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ

#1

...Καλημέρα

συνεχίζοντας γεωμετρικά....

Δίνονται οι συναρτήσεις $f,g:R\to R$ που είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους και έχουν σύνολο τιμών το

.

Αν η

είναι γνήσια αύξουσα και η

γνήσια φθίνουσα να δειχθεί ότι οι ${{C}_{f}},\,{{C}_{g}}$ έχουν μοναδικό κοινό σημείο.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#2

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...Καλημέρα συνεχίζοντας γεωμετρικά....

Δίνονται οι συναρτήσεις $f,g:R\to R$ που είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους και έχουν σύνολο τιμών το .

Αν η είναι γνήσια αύξουσα και η γνήσια φθίνουσα να δειχθεί ότι οι ${{C}_{f}},\,{{C}_{g}}$ έχουν μοναδικό κοινό σημείο.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Βασίλη καλό μεσημέρι

Με $f\left( R \right) = g\left( R \right) = R \Rightarrow$ $\left\{ \begin{gathered} f\left( R \right) = \left( { - \infty , + \infty } \right)\mathop = \limits^{f\,\,\gamma \nu \eta \sigma \iota \omega \varsigma \,\,\alpha \upsilon \xi o\upsilon \sigma \alpha \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma } \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)} \right) \hfill \\ g\left( R \right) = \left( { - \infty , + \infty } \right)\mathop = \limits^{g\,\,\gamma \nu \eta \sigma \iota \omega \varsigma \,\,\varphi \theta \iota \nu o\upsilon \sigma \alpha \,\kappa \alpha \iota \,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma \,} \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right)} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Για να αποδείξουμε ότι οι γραφικές τους παραστάσεις τέμνονται σε μοναδικό σημείο αρκεί να δείξουμε ότι το σύστημα

$\left\{ \begin{gathered} y = f\left( x \right) \hfill \\ y = g\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ έχει μοναδική λύση ή ισοδύναμα ότι η εξίσωση $f\left( x \right)=g\left( x \right)$ έχει μοναδική ρίζα ως προς .

Θεωρούμε τη συνάρτηση $h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right),x \in R$ για την οποία ισχύουν:

$\bullet$ η είναι συνεχής στο (διαφορά συνεχών) και

$\bullet$ η είναι γνησίως αύξουσα στο , $\left( h\left( x \right)=f\left( x \right)+\left( -g\left( x \right) \right) \right)$ ) άθροισμα γνησίως αυξουσών.

Ετσι $h\left( R \right) = \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)} \right)$ $\mathop = \limits^{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right)}$

$\left( { - \infty , + \infty } \right) \mathrel\backepsilon 0 \Rightarrow \left( {\exists {x_0} \in R:h\left( {{x_0}} \right) = 0} \right) \Leftrightarrow$ $\ldots \left( {\exists {x_0} \in R:f\left( {{x_0}} \right) = g\left( {{x_0}} \right) = k \in R} \right)$ που σημαίνει ότι

οι γραφικές παραστάσεις των τέμνονται στο σημείο ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}},k \right)$ με ${{x}_{0}}$ μοναδικό (άρα και ${{C}_{f}}\cap {{C}_{g}}\equiv {{M}_{0}}\left( {{x}_{0}},k \right)$ μοναδικό ) λόγω της γνήσιας μονοτονίας (γνησίως αύξουσα) της

Στάθης

#3

...Στάθη

και δίνω και την δική μου άποψη χάριν πλουραρισμού...

Αφού το σύνολο τιμών της

είναι το

υπάρχει μοναδικό ${{x}_{1}}\in R$ λόγω μονοτονίας ώστε $f({{x}_{1}})=0$

και μοναδικό ${{x}_{2}}\in R$ λόγω μονοτονίας ώστε $g({{x}_{2}})=0$

Αν ${{x}_{1}}={{x}_{2}}$ προφανώς οι ${{C}_{f}},\,{{C}_{g}}$ έχουν κοινό σημείο.

Αν ${{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$ , με ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ η συνάρτηση $h(x)=f(x)-g(x),\,\,\,\,x\in [{{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}]$ είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών και

$h({{x}_{1}})=f({{x}_{1}})-g({{x}_{1}})=-g({{x}_{1}})<0$ γιατί ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ και

γνήσια φθίνουσα άρα $g({{x}_{1}})>g({{x}_{2}})=0$

και $h({{x}_{2}})=f({{x}_{2}})-g({{x}_{2}})=f({{x}_{2}})>0$ γιατί ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ και

γνήσια αύξουσα άρα

$f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}})\Leftrightarrow 0<f({{x}_{2}})$ έτσι σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει

${{x}_{0}}\in ({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}})$ ώστε $h({{x}_{0}})=0\Leftrightarrow f({{x}_{0}})=g({{x}_{0}})$

Ανάλογα με ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}$ δείχνουμε ότι ${{x}_{0}}\in ({{x}_{2}},\,\,{{x}_{1}})$ ώστε

$h({{x}_{0}})=0\Leftrightarrow f({{x}_{0}})=g({{x}_{0}})$ άρα σε κάθε περίπτωση οι οι ${{C}_{f}},\,{{C}_{g}}$ έχουν κοινό σημείο.

Τώρα $h(x)=f(x)-g(x),\,\,\,\,x\in R$ είναι γνήσια αύξουσα (…εύκολα με τον ορισμό…) άρα και '1-1'

επομένως η ρίζα της, είναι μοναδική.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΣΥΝΕΧΕΙΑ-ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ

ΣΥΝΕΧΕΙΑ-ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ

Re: ΣΥΝΕΧΕΙΑ-ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ

Re: ΣΥΝΕΧΕΙΑ-ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ

Μέλη σε σύνδεση