Ισότητα Συναρτήσεων

TommysG · #1

Έστω οι συναρτήσεις f,g: $\mathbb{R^{*}}\rightarrow \mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύει

$\frac{(f(x))^{2}+(g(x))^{2}}{2x}=f(x)+g(x)-x$ , $\forall x\varepsilon \mathbb{R}$

να αποδείξετε οτι

Μπορεί κάποιος να βοηθήσει; Φαίνεται αρκετά εύκολη

Tolaso J Kos · #2

TommysG έγραψε:Έστω οι συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R^{*}}\rightarrow \mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύει

$\frac{(f(x))^{2}+(g(x))^{2}}{2x}=f(x)+g(x)-x$ , $\forall x \in \mathbb{R}$

να αποδείξετε οτι

Μπορεί κάποιος να βοηθήσει; Φαίνεται αρκετά εύκολη

$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{f^2(x)+g^2(x)}{2x} = f(x)+g(x)-x &\Leftrightarrow f^2(x)+g^2(x) = 2x f(x) + 2xg(x)-2x^2 \\ &\Leftrightarrow f^2(x)-2xf(x) + g^2(x)-2xg(x) +2x^2 =0 \\ &\Leftrightarrow f^2(x) -2xf(x) + x^2 + g^2(x) - 2xg(x) + x^2 =0 \\ &\Leftrightarrow \left ( f(x)-x \right )^2 + \left ( g(x)-x \right )^2=0 \end{aligned}}$ Μπορείς να βγάλεις τώρα το συμπέρασμα ;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

TommysG · #3

Δεν σκέφτηκα να σπάσω το $2x^{2}$ και προσπαθούσα να το λύσω με το να θέσω...Σωστά υπέθεσες

#4

TommysG έγραψε:Δεν σκέφτηκα να σπάσω το $2x^{2}$ και προσπαθούσα να το λύσω με το να θέσω.

Αφού το θέτεις έτσι, ας δούμε και μία λύση που δεν χρειάζεται να σπάσεις το 2x^2

.

Όπως στην προηγούμενη λύση η παράσταση γράφεται

$\displaystyle{{ 2x^2 -2x(f(x)+g(x)) + (f^2(x) + g^2(x)) =0$

Αυτή είναι δευτεροβάθμια με πραγρατική ρίζα (το

που είναι εξ υποθέσως πραγματικός) οπότε $\Delta \ge 0$ . Άρα

$0 \le 4(f(x)+g(x))^2-8(f^2(x) + g^2(x))= -4 f^2(x) + 8f(x)g(x) - 4 g^2(x)=$

$= -4(f(x)-g(x))^2 \le 0$ .

Οπότε για κάθε

ισχύει ισότητα παντού και άρα f(x)-g(x)=0

, που είναι το ζητούμενο.

Ισότητα Συναρτήσεων

Ισότητα Συναρτήσεων

Re: Ισότητα Συναρτήσεων

Re: Ισότητα Συναρτήσεων

Re: Ισότητα Συναρτήσεων

Μέλη σε σύνδεση