Σύνολο τιμών και συναρτησιακή

g.liolios · #1

Καλησπέρα σε ολη την παρέα του mathematica.
Έχουμε και λέμε:
Δίνεται η $g:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει οτι g^3(x)+g(x)=2e^x+x

. Να δειχθεί οτι έχει σύνολο τιμών το

Έχει κανείς καμία ιδέα;

parmenides51 · #2

Μερικές ιδέες εδώ, εδώ, εδώ, εδώ, εδώ, εδώ και εδώ.

καλό διάβασμα

parmenides51 · #3

g.liolios έγραψε: Δίνεται η $g:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει οτι . Να δειχθεί οτι έχει σύνολο τιμών το

Έχει κανείς καμία ιδέα;

Η ιδέα που λέγαμε *:

Η συνάρτηση $\displaystyle{h(x)=x^3+x}$ αντιστρέφεται οπότε

$\displaystyle{g^3(x)+g(x)=2e^x+x \Leftrightarrow h(g(x))=2e^x+x \Rightarrow g(x)=h^{-1}(2e^x+x)}$

* Επειδή ζητήθηκε υπόδειξη και όχι λύση.

g.liolios · #4

Μετά την υπόδειξη του parmenides51:
Θέτουμε $\displaystyle{u=2e^x+x}$ , $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}(2e^x+x)}= +\infty$ άρα οταν $x\rightarrow +\infty$ τότε έχουμε οτι $u\rightarrow +\infty$ . H

είναι γνησίως αύξουσα αρα και η αντίστροφη $h^{-1}$ είναι γνησίως αύξουσα (θέλει απόδειξη που δεν αναφέρω) και $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}h(x)}= +\infty$ άρα $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}h^{-1}(x)}=+ \infty$ . Οπότε $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}h^{-1}(2e^x+x)}=\displaystyle{\lim_{u\to +\infty}h^{-1}(u)}=+ \infty$ , άρα $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}g(x)}=+\infty$ . Με ανάλογη διαδικασία $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}g(x)}=-\infty$ . Τελικά g(R)=R

troulis · #5

Δεν μπορούσαμε να γράψουμε ότι η g έχει σύνολο τιμών , το σύνολο τιμών της αντίστροφης της h, δηλαδή το πεδίο ορισμού της h που είναι όλο το

?

parmenides51 · #6

troulis έγραψε:Δεν μπορούσαμε να γράψουμε ότι η g έχει σύνολο τιμών , το σύνολο τιμών της αντίστροφης της h, δηλαδή το πεδίο ορισμού της h που είναι όλο το ?

Δεν καταλαβαίνω τι εννοείς. Θα μπορούσες να επαναδιατυπώσεις την ερώτηση, έστω με διαφορετικά λόγια;

troulis · #7

Αν έγραφα ότι η g έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού της h(2e^x+x)

, που είναι όλο το

, σωστό δεν θα ήταν?

parmenides51 · #8

troulis έγραψε:Αν έγραφα ότι η g έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού της , που είναι όλο το , σωστό δεν θα ήταν?

όχι γιατί οι συναρτήσεις h(2e^x+x)

και $h^{-1}(2e^x+x)$ δεν είναι μεταξύ τους αντίστροφες από την στιγμή που η σύνθεση τους δεν ισούται με την ταυτοτική συνάρτηση $\displaystyle{x}$ .

parmenides51 · #9

troulis έγραψε:Δεν είναι αντίστροφες επειδή δεν είναι της μορφής $h^{-1}(x)$ ? Αυτό ισχύει για οποιεσδήποτε συναρτήσεις πχ $g^{-1}(x-2)$ , ότι δηλαδή δεν έχουν αντίστροφη?Αυτό γράψατε?

Οι συναρτήσεις h(2e^x+x)

και $h^{-1}(2e^x+x)$ δεν είναι μεταξύ τους αντίστροφες
γιατί η σύνθεση τους είναι η συνάρτηση $\displaystyle{h(2e^{h^{-1}(2e^x+x)}+h^{-1}(2e^x+x))}$ που προφανώς δεν ισούται με την συνάρτηση $\displaystyle{x}$

Γενικά η συνάρτηση $\displaystyle{f(g(x))}$ όταν ορίζεται και αντιστρέφεται αυτή καθώς και η $\displaystyle{f}$ και η $\displaystyle{g }$ έχει αντίστροφη την συνάρτηση $\displaystyle{g^{-1}(f^{-1}(x))}$ σε κατάλληλο πεδίο ορισμού

Υ.Γ. Για να γράψεις εκθέτη στο $\displaystyle{\LaTeX}$ πατάς ^{...} όπου ... ο εκθέτης που θες

edit:

Η παράθεση διαγράφτηκε μέχρι να απαντήσω, την αφήνω για να βγαίνει νόημα

Σύνολο τιμών και συναρτησιακή

Σύνολο τιμών και συναρτησιακή

Re: Σύνολο τιμών και συναρτησιακή

Re: Σύνολο τιμών και συναρτησιακή

Re: Σύνολο τιμών και συναρτησιακή

Re: Σύνολο τιμών και συναρτησιακή

Re: Σύνολο τιμών και συναρτησιακή

Re: Σύνολο τιμών και συναρτησιακή

Re: Σύνολο τιμών και συναρτησιακή

Re: Σύνολο τιμών και συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση