Μία με Μιγαδικούς

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε:Έστω $\displaystyle{a,b,c,d\in {{\mathbb{C}}^{*}}}$ και $\displaystyle{x=\frac{a+by}{c+dy},\,\,\,y=\frac{a+bw}{c+dw},\,\,\,w=\frac{a+bx}{c+dx},\,\,\,x\ne y\ne w\ne -\frac{c}{d}}$

τότε $\displaystyle{ad+bc+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=0}$ .

Οι υποθέσεις μας επιτρέπουν να βγάλουμε πολλές πληροφορίες ανάμεσα τους και την αποδεικτέα εκτός από μία ειδική περίπτωση που μάλλον πρέπει να συμπεριληφθεί στις υποθέσεις..
Έστω ο μετασχηματισμός $g\left( z\right) =\frac{pz+q}{rz+s}$ . Θα είναι $g\left( z\right) =z$ αν και μόνο αν $\allowbreak rz^{2}+\left( s-p\right) z-q=0$ . Αυτό σημαίνει ότι θα ισχύει για τρεις διαφορετικές τιμές του

η ισότητα $g\left( z\right) =z$ μόνο αν το πολυώνυμο $\allowbreak rz^{2}+\left( s-p\right) z-q$ έχει τρεις διάφορες ρίζες δηλαδή αν είναι το μηδενικό με άλλα λόγια αν
r=s-p=q=0

.
Θεωρούμε τώρα τον μετασχηματισμό $f\left( x\right) =\allowbreak \frac{a+bx}{c+dx}$ . Από τα δεδομένα έχουμε
$f\left( y\right) =x$ , $f\left( w\right) =y$ , $f\left( x\right) =w$
Από αυτά συμπεραίνουμε ότι
$f\left( f\left( f\left( x\right) \right) \right) =x$
$f\left( f\left( f\left( y\right) \right) \right) =y$
$f\left( f\left( f\left( w\right) \right) \right) =w$
Θέτοντας $f\left( f\left( f\left( z\right) \right) \right) =g\left( z\right)$ βρίσκουμε ότι
$g\left( z\right) =\frac{pz+q}{rz+s}$
όπου
$p=acd+2adb+b^{3}$
$q=ac^{2}+a^{2}d+bac+b^{2}a$
$r=c^{2}d+cdb+ad^{2}+db^{2}$
$s=c^{3}+2acd+adb$
Αλλά η g(z)=z

έχει 3 διάφορες λύσεις άρα
$acd+2adb+b^{3}=0\,\ \ \ \ \ \ \ (1)$
$c^{3}+2acd+adb\allowbreak =0\,\ \ \ \ \ \ \ \ (2)$
$ac^{2}+a^{2}d+bac+b^{2}a-c^{2}d-cdb-ad^{2}-db^{2}=0\,\ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)\,$
Αφαιρώντας τις (1) και (2) βρίσκουμε ότι
$\left( b-c\right) \left( b^{2}+cb+ad+c^{2}\right)=0 \,\,\,\ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)$
που μας δίνει το αποδεικτέο για την περίπτωση όπου $c\neq b$ . Στην ειδική περίπτωση όπου c=b

η (3) μας δίνει την
$\left( a-d\right) \left( 3b^{2}+ad\right) =0\,\ \ \ \ \ \ \ (5)$
που μας δίνει το αποδεικτέο για $a\neq d$ .
Τέλος για a=d

και

βρίσκουμε ότι $3a^{2}+b^{2}=0$ . Νομίζω ότι θα πρέπει να συμπεριληφθεί στις υποθέσεις ότι $a\neq d$ γιατί αλλιώς έχουμε αντιπαράδειγμα:
Ας πάρουμε a=d=1

, $b=c=i\sqrt{3}$ . Τότε $f\left( z\right) =\allowbreak \frac{z+i\sqrt{3}}{i\sqrt{3}z+1}$ και αν πάρουμε

τυχόντα είναι
$f\left( x\right) =\allowbreak \frac{x+i\sqrt{3}}{i\sqrt{3}x+1}=w$
$f\left( w\right) =f\left( f\left( x\right) \right) =\allowbreak -\frac{x-i\sqrt{3}}{i\sqrt{3}x-1}=y$
$f\left( y\right) =f\left( f\left( f\left( x\right) \right) \right) =\allowbreak x$
άρα οι υποθέσεις ισχύουν αλλά όχι το συμπέρασμα αφού
$ad+bc+b^{2}+c^{2}=\allowbreak -8$ .
Μαυρογιάννης

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

dr.tasos · #4

ορέστη υπάρχει καποια πιο νορμάλ λύση ;

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

Demosthenes56 · #6

Επιτρέψτε μου δύο παρατηρήσεις-απορίες πάνω στη λύση του κ. Μαυρογιάννη.

1) Έχοντας φθάσει στις σχέσεις

$p=acd+2adb+b^{3} q=ac^{2}+a^{2}d+bac+b^{2}a r=c^{2}d+cdb+ad^{2}+db^{2} s=c^{3}+2acd+adb$

Δεν μπορούμε να ισχυριστούμε ότι $\displaystyle{q = 0\;\mathop \Leftrightarrow \limits_{a \ne 0} \;{c^2} + ad + bc + {b^2} = 0}$
που ικανοποιεί και την προϋπόθεση $\displaystyle{r = 0}$ , αλλά και την $\displaystyle{s - p = 0}$ , οπότε εκεί τελειώνει η λύση;

2) Στο παράδειγμα που δόθηκε

Ας πάρουμε $a=d=1, b=c=i\sqrt{3}$ . Τότε $f\left( z\right) =\allowbreak \frac{z+i\sqrt{3}}{i\sqrt{3}z+1}$

η συνάρτηση $\displaystyle{f(z)}$ ξαναγράφεται ως $\displaystyle{f(z) = \frac{{i\sqrt 3 + z}}{{1 + i\sqrt 3 z}}}$ , δηλαδή έχει $\displaystyle{a = d = i\sqrt 3 }$ και $\displaystyle{b = c = 1}$
για τα οποία τότε ισχύει
$\displaystyle{ad + bc + {b^2} + {c^2} = - 3 + 1 + 1 + 1 = 0}$ .
Άρα μήπως δεν χρειάζεται η επιπλέον προϋπόθεση $\displaystyle{a \ne d}$ ;
Παρεμπιπτόντως, να συμπληρώσω ότι για $a=d=1, b=c=i\sqrt{3}$ προκύπτει η συνάρτηση $\displaystyle{f(z) = \frac{{1 + i\sqrt 3 z}}{{i\sqrt 3 + z}}}$
η οποία δεν έχει την ιδιότητα $\displaystyle{f(f(f(x))) = x}$ (αν έκανα σωστά τις πράξεις).
Αυτά, και ζητώ συγγνώμη εκ των προτέρων αν έχω κάνει κάπου λάθος.

Μία με Μιγαδικούς

Μία με Μιγαδικούς

Re: Μία με Μιγαδικούς

Re: Μία με Μιγαδικούς

Re: Μία με Μιγαδικούς

Re: Μία με Μιγαδικούς

Re: Μία με Μιγαδικούς

Μέλη σε σύνδεση