Μια καλή

ΚωσταςΚ · #1

Αν $z\bar{z}=w\bar{w}=1$ και |z+w+2| = |zw-1|

Να δείξετε ότι z=-1

ή

#2

Θέτουμε $z+1=f, \ w+1=g.$

Τότε $|f+g|=|zw-1|=|zw-w\overline{w}|=|z-\overline{w}|=|f-\overline{g}|.$

Υψώνοντας στο τετράγωνο έχουμε

$\displaystyle{f\overline{g}+\overline{f}g=0\implies (z+1)(\overline{w}+1)+(w+1)(\overline{z}+1)=0 \implies (z+1)(w+1)\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{w}\right)=0.}$

Αν (z+1)(w+1)=0

τελειώσαμε.

Αν z+w=0

τότε

$\displaystyle{|zw-1|=2 \implies |z-\overline{w}|=2\implies |z+\overline{z}|=2 \implies |\Re \{z\}|=1\implies \Re\{z\}=\pm 1.}$

Αν $\Re\{z\}=-1$ τότε από |z|=1

είναι $\Im\{z\}=0$ και z=-1.

Αν $\Re\{z\}=1$ τότε $\Re\{w\}=-1$ και από |w|=1

είναι $\Im\{w\}=0$ και w=-1.

Λόγω του τίτλου, ίσως υπάρχει και άλλη λύση.

ΚωσταςΚ · #3

Μήπως υπάρχει λάθος στις πράξεις? Στη τρίτη σειρά...

ΚωσταςΚ · #4

Πάντως αυτόν τον τρόπο είχα σκεφτεί και εγω..υπάρχει μήπως και κάποια αλλη διαπραγμάτευση?

ΚωσταςΚ · #5

Στην 3η σειρά..

ΚωσταςΚ · #6

Στο πρώτο σκέλος που ειναι ίσο με 0..

#7

Μπορώ να επιλέξω σύστημα συντεταγμένων ώστε $\displaystyle{z=1}$ τότε $\displaystyle{|w+3|=|w-1|}$ αρα ο $\displaystyle{w}$ κινείται στην μεσοκάθετο Των $\displaystyle{-3,1}$ kai επειδή $\displaystyle{|w|=1 }$ o $\displaystyle{w}$ κινείται στον μοναδιαίο κύκλο
Το μόνο κοινό σημείο είναι το -1 Άρα $\displaystyle{w=-1}$ Αντίστοιχα όταν εκλέξω $\displaystyle{w=1}$

Μια καλή

Μια καλή

Re: Μια καλη..

Re: Μια καλή

Re: Μια καλή

Re: Μια καλή

Re: Μια καλή

Re: Μια καλή

Μέλη σε σύνδεση