Διαγώνισμα 2014-2015 μιγαδικοί

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

Απάντηση
Grosrouvre
Δημοσιεύσεις: 296
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 15, 2014 11:37 pm

Re: Διαγώνισμα 2014-2015 μιγαδικοί

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Grosrouvre » Δευ Αύγ 11, 2014 12:20 pm

ΘΕΜΑ Β

Β

i)

Παρατηρούμε ότι

\left|z^3\right| + \left|1 - z^3\right| = 1 = \left|z^3 + 1 - z^3\right|.

Άρα, με βάση και το Α ερώτημα, είναι

z^3 = \lambda \left(1 - z^3\right), \lambda \geq 0 όταν 1 - z^3 \neq 0 ή 1 - z^3 = 0.

Οπότε, z^3 = 1 (και ικανοποιούνται τα ζητούμενα) ή

\displaystyle{z^3 = \frac{\lambda}{1 + \lambda} \in \mathbb{R}}.

Καθώς (για \lambda \geq 0) είναι \displaystyle{0 \leq \frac{\lambda}{1 + \lambda} < 1}, θα είναι και

\displaystyle{0 \leq z^3 \leq 1} (που περιλαμβάνει και την περίπτωση z^3 = 1).

ii)

Έστω z = x + yi. Τότε

z^3 = x^3 - 3xy^2 + \left(3x^2y - y^3\right)i. Επειδή z\in \mathbb{R}, προκύπτει ότι

3x^2y - y^3 = 0 \Longrightarrow y = 0 ή 3x^2 = y^2. Δηλαδή

z\in \mathbb{R} ή

4x^2 = x^2 + y^2 \Longrightarrow \left(2Re\left(z\right)\right)^2 = \left|z\right|^2 \Longrightarrow

\Longrightarrow 2\left|Re\left(z\right)\right| = \left| z \right|.


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης