Απορίες στους μιγαδικούς

Αγησίλαος · #1

Χαιρετώ την μαθηματική κοινότητα

Είναι το πρώτο μου ποστ στο φόρουμ και ξεκινάω με κάποιες ερωτήσεις σχετικά με τους μιγαδικούς αριθμούς

1. Ορίζεται διάταξη στους φανταστικούς αριθμούς; (βρίσκονται κι αυτοί πάνω σε άξονα, όπως και οι πραγματικοί)

2. Ποιά η γεωμετρική σημασία των μιγαδικών ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης με αρνητική διακρίνουσα; (οι λύσεις της δευτεροβάθμιας εξίσωσης με διακρίνουσα θετική ή μηδέν είναι τα σημεία τομής της παραβολής με τον x'x

και το σημείο επαφής αντίστοιχα, υπάρχει κάτι αντίστοιχο με τις μιγαδικές ρίζες;)

3. Το μιγαδικό επίπεδο της Γ' Λυκείου είναι το ίδιο επίπεδο με το επίπεδο που μελετούν οι μαθητές στην Β' Λυκείου; Ή πρόκειται για δύο διαφορετικά επίπεδα; Δηλαδή, θα μπορούσε το επίπεδο της Β' Λυκείου να οριστεί ως πραγματικό επίπεδο και το επίπεδο της Γ' Λυκείου ως μιγαδικό; (το επίπεδο της Β' είχε πραγματικούς αριθμούς στον άξονα των

, ενώ της Γ' εχει φανταστικούς)

Christos.N · #2

Αγησίλαος έγραψε:Χαιρετώ την μαθηματική κοινότητα

Γεία σου και καλή διαμονή, εύχομαι να βρείς τον τόπο που θα σε βοηθήσει.

Αγησίλαος έγραψε:1. Ορίζεται διάταξη στους φανταστικούς αριθμούς; (βρίσκονται κι αυτοί πάνω σε άξονα, όπως και οι πραγματικοί)

Όχι γιατι θα είχαμε πρόβλημα με τις ιδιότητες της διάταξης.Θα σου δώσω ένα παράδειγμα:
Υποθέτουμε ότι η φαντα στική μονάδα είναι θετικός αριθμός.
$\displaystyle{i > 0,\,\,\,i > 0\mathop \Rightarrow \limits^{ \times i} {i^2} > 0 \cdot i \Rightarrow - 1 > 0}$ , πρόβλημα...
αν πάλι υποθέσουμε ότι είναι αρνητικός αριθμός.
$\displaystyle{i < 0,\,\,\,i < 0\mathop \Rightarrow \limits^{ \times i} {i^2} > 0 \cdot i \Rightarrow - 1 > 0}$ , πρόβλημα και πάλι...
(Σε κάθε μια ανίσωση πολλαπλασίαζα με $\displaystyle{i}$ βασισμένος στις ιδιότητες που έχουν οι ανισώσεις στους πραγματικούς.)

Αγησίλαος έγραψε:2. Ποιά η γεωμετρική σημασία των μιγαδικών ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης με αρνητική διακρίνουσα; (οι λύσεις της δευτεροβάθμιας εξίσωσης με διακρίνουσα θετική ή μηδέν είναι τα σημεία τομής της παραβολής με τον x'x και το σημείο επαφής αντίστοιχα, υπάρχει κάτι αντίστοιχο με τις μιγαδικές ρίζες;)

Στους μιγαδικούς η αναπαράσταση γραφικά δεν γίνεται όπως στους πραγματικούς, δηλαδή θέλουμε ένα μιγαδικό επίπεδο για το πεδίο ορισμού και ένα μιγαδικό επίπεδο για το σύνολο τιμών,(εκτός αν δουλέψουμε στο χώρο τεσσάρων διαστάσεων

).Κάνε ένα πείραμα μόνος σου και χρησιμοποίησε το τριώνυμο $\displaystyle{f(z) = {z^2} + 1}$ βάζοντας διάφορους μιγαδικούς που βρίσκονται στο πλαίσιο που ορίζεται απο τις εικόνες των μιγαδικών (1,1), (-1,1), (-1,-1) ,(1,-1)

. (αν μάντεψες σωστά το πεδίο ορισμού δεν είναι ένα διάστημα, αλλά ένα χωρίο)

Αγησίλαος έγραψε:3. Το μιγαδικό επίπεδο της Γ' Λυκείου είναι το ίδιο επίπεδο με το επίπεδο που μελετούν οι μαθητές στην Β' Λυκείου; Ή πρόκειται για δύο διαφορετικά επίπεδα; Δηλαδή, θα μπορούσε το επίπεδο της Β' Λυκείου να οριστεί ως πραγματικό επίπεδο και το επίπεδο της Γ' Λυκείου ως μιγαδικό; (το επίπεδο της Β' είχε πραγματικούς αριθμούς στον άξονα των y, ενώ της Γ' εχει φανταστικούς)

Σε γενικές γραμμές είναι διαφορετικά επίπεδα, έχουν όμως κάποιες βασικές ομοιότητες όσον αφορά στην απεικόνιση ενός διανύσματος και ενός μιγαδικού αριθμού. Το επίπεδο που βρίσκονται οι μιγαδικοί αριθμοί ονομάζεται μιγαδικό επίπεδο, το "πραγματικό επίπεδο" είναι ένας όρος του επιπέδου όπως εύστοχα λές, αλλα νοείται ως το "επίπεδο (που ορίζεται απο άξονες) πραγματικών αριθμών".

Εύχομαι να σε βοήθησα.

Νασιούλας Αντώνης · #3

Όσον αφορά τη διάταξη και τους μιγαδικούς έχουν γίνει δύο πολύ αναλυτικές συζητήσεις εδώ και εδώ.

Αγησίλαος · #4

Μάλιστα. Πολύ αναλυτική η απάντηση σου Χρήστο, να είσαι καλά!

Επομένως:
1) η γραφική παράσταση τριωνύμου αρνητικής διακρίνουσας δεν έχει καμία απολύτως γεωμετρική σημασία στο δισδιάστατο επίπεδο που γνωρίζουμε
2) οι πραγματικοί αριθμοί είναι μια ιδιαίτερη περίπτωση μιγαδικών αριθμών στους οποίους ορίζεται διάταξη
3) το επίπεδο της Γ' Λυκείου είναι διαφορετικό από αυτό της Β' (είχα ρωτήσει κάποιον αν πρόκειται για διαφορετικά επίπεδα και μου είπε πως είναι το ίδιο ακριβώς επίπεδο, απλά στην Β' λυκείου παραλείπουμε την φανταστική μονάδα στον άξονα των τεταγμένων επειδή δεν την έχουμε διδαχτεί. Θεώρησα πως το καταλληλότερο μέρος για να λύσω την απορία μου ήταν αυτό

)

#5

Christos.N έγραψε:
Αγησίλαος έγραψε:1. Ορίζεται διάταξη στους φανταστικούς αριθμούς; (βρίσκονται κι αυτοί πάνω σε άξονα, όπως και οι πραγματικοί)
Όχι γιατι θα είχαμε πρόβλημα με τις ιδιότητες της διάταξης.Θα σου δώσω ένα παράδειγμα:
Υποθέτουμε ότι η φαντα στική μονάδα είναι θετικός αριθμός.
$\displaystyle{i > 0,\,\,\,i > 0\mathop \Rightarrow \limits^{ \times i} {i^2} > 0 \cdot i \Rightarrow - 1 > 0}$ , πρόβλημα...
αν πάλι υποθέσουμε ότι είναι αρνητικός αριθμός.
$\displaystyle{i < 0,\,\,\,i < 0\mathop \Rightarrow \limits^{ \times i} {i^2} > 0 \cdot i \Rightarrow - 1 > 0}$ , πρόβλημα και πάλι...
(Σε κάθε μια ανίσωση πολλαπλασίαζα με $\displaystyle{i}$ βασισμένος στις ιδιότητες που έχουν οι ανισώσεις στους πραγματικούς.)

Θα ήθελα να συμπληρώσω γιατί η απάντηση δεν είναι απόλυτα-απόλυτα σωστή:

Διάταξη στο $\mathbb C$ ή σε οποιοδήποτε άλλο σύνολο (στην συνήθη Θεωρία Συνόλων) ΟΡΙΖΕΤΑΙ. Μάλιστα υπάρχει και "καλή διάταξη (well order)" , ότι και αν σημαίνει αυτό. Πρόκειται για θεώρημα του Zermelo που αποδεικνύται ισοδύναμο του αξιώματος της επιλογής.

Αυτό που δεν υπάρχει (και είναι απλό στην απόδειξη) είναι διάταξη συμβατή με τις πράξεις (πρόσθεση, πολλαπλασιασμός) του $\mathbb C$ .

Μ.

#6

margk έγραψε:Τι εννοείτε λέγοντας ' συμβατή με τις πράξεις";

Δηλαδή να ικανοποιεί τις ιδιότητες $a>0, b>0 \Rightarrow a+b>0$ και $a>0, b>0 \Rightarrow ab>0$ .

Υπόψη ότι στη απάντηση του Χρήστου παραπάνω, έγινε χρήση της δεύτερης όταν έγραψε

$i>0, i>0 \Rightarrow i^2>0$ δηλαδή -1>0

, άτοπο.

Μ.

Απορίες στους μιγαδικούς

Απορίες στους μιγαδικούς

Re: Απορίες στους μιγαδικούς

Re: Απορίες στους μιγαδικούς

Re: Απορίες στους μιγαδικούς

Re: Απορίες στους μιγαδικούς

Re: Απορίες στους μιγαδικούς

Μέλη σε σύνδεση