Άσκηση στους Μιγαδικούς

g.liolios · #1

Τα σημεία $M_\lambda$ και M_1

είναι εικόνες των μιγαδικών $z_\lambda =2\lambda + 2\lambda i$ με $\lambda \epsilon R$ και z_1=3-i

και Μ έιναι η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου $OM_\lambda MM_1.$ (Ο είναι η αρχή των αξόνων)

1) Να βρεθεί εξίσωση της γραμμης στην οποία κινείται το σημείο Μ που είναι η εικόνα του μιγαδικού z=x+yi

.

2) Να βρεθεί ο γ.τ. των εικόνων του μιγαδικού

οταν $w=\frac{1}{z}$

Με χαρά θα διάβαζα κάποια γνώμη.

#2

Έχουμε $M_{\lambda}(2\lambda,2\lambda), M_1(3,-1), M(x,y)$ .

1) Αφού το $OM_{\lambda}MM_1$ είναι παραλληλόγραμμο έχουμε ότι:
$\displaystyle{\vec{OM_{\lambda}}=\vec{M_1M} \Leftrightarrow x-3=2\lambda,y+1=\lambda$ ,
οπότε $x-3=y+1 \Leftrightarrow y=x-4$ και το Μ κινείται στην ευθεία με εξίσωση y=x-4

.

2) Έστω $w=x+yi, x,y \in \mathbb{R}$ και $z=a+(a-4)i,a \in \mathbb{R}$ .
Τότε:

$\displaystyle{w=\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z|^2} \Leftrightarrow x+yi=\frac{a-(a-4)i}{a^2+(a-4)^2} \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x=\frac{a}{a^2+(a-4)^2},y=\frac{4-a}{a^2+(a-4)^2 }(I)}$

*Αν $a \neq 0$ ,από τις (Ι) έχουμε ότι:
$\displaystyle{\frac{y}{x}=\frac{4-a}{a} \Leftrightarrow ay=4x-ax \Leftrightarrow a(x+y)=4x (II)}$
** Αν x+y=0

, τότε από την (ΙΙ) θα πρέπει x=0, άρα και y=0, που απορρίπτεται αφού $\displaystyle{w=\frac{1}{z}\neq 0}$ .
** Αν $x+y \neq 0$ , τότε από την (ΙΙ) έχουμε: $a=\frac{4x}{x+y}}$ ,
οπότε από τις (Ι): $\displaystyle{x\left\{\left(\frac{4x}{x+y} \right)^2+\left(\frac{4x}{x+y} -4\right)^2 \right\}=\frac{4x}{x+y} \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x\left\{\left(\frac{4x}{x+y} \right)^2+\left(\frac{-4y}{x+y}\right)^2 \right\}=\frac{4x}{x+y} \Leftrightarrow x\frac{16x^2+16y^2}{(x+y)^2}=\frac{4x}{x+y} \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 16x(x^2+y^2)-4x(x+y)=0 \Leftrightarrow 4x(4x^2+4y^2-1)=0 \Leftrightarrow x^2+y^2=\frac{1}{4}}$ , αφού $x \neq 0$ .
Επομένως ο γ.τ των εικόνων του w είναι ο κύκλος κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ .

* Αν a=0

, από τις (Ι) προκύπτει $\displaystyle{x=0,y=\frac{1}{4}}$ , απορρίπτεται.

Άσκηση στους Μιγαδικούς

Άσκηση στους Μιγαδικούς

Re: Άσκηση στους Μιγαδικούς

Μέλη σε σύνδεση