Γεωμετρικός τόπος

#1

Αν για τους μιγαδικούς z,w ισχύει $z^{2}-w+1=0$ να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας

Μ του z, όταν οι εικόνες των Ο, z, w είναι συνευθειακά σημεία.

mathxl · #2

Από την περσινή κατεύθυνση (συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων) ισχύει w=λz με λ πραγματικό

Με αντικατάσταση στην δοσμένη έχουμε
$\displaystyle{{z^2} - w + 1 = 0 \Leftrightarrow {z^2} - \lambda z + 1 = 0 \Leftrightarrow \lambda = z + \frac{1}{z},z \ne 0}$
Είναι
$\displaystyle{\lambda \in R \Leftrightarrow z + \frac{1}{z} = \left( {\overline {z + \frac{1}{z}} } \right) \Leftrightarrow \left( {z - \bar z} \right)\left( {1 - \frac{1}{{z\bar z}}} \right) = 0 \Leftrightarrow z = \bar z \vee \left| z \right| = 1}$
οπότε ο γ.τ. είναι ο άξονας χ΄χ εκτός την αρχή των αξόνων και ο κύκλος (Ο,1)

tkmath · #3

Στην πολύ ωραία λύση του mathxl δεν χρειάζεται να εξαιρεθεί η αρχή των αξόνων, αφού για z = 0, οι εικόνες των Ο, z και w θα είναι συνευθειακές επειδή έχουμε δύο σημεία.

mathxl · #4

Πράγματι tkmath, πρέπει να εξεταστεί ξεχωριστά η περίπτωση αυτή αν και τετριμένη!
Ευχαριστώ τον Κώστα Σερίφη για την διακριτική επισήμανση της παραπάνω παράλειψης μου σε πμ.

Ωραία άσκηση Χρήστο.

#5

Και ωραία λύση.

Η άσκηση είναι απο το φυλλάδιο του Μίλτου Παπαγρηγοράκη.

Τη συζητούσαμε με την Κική το πρωϊ στο σχολείο και είπαμε να τη δώσουμε.

rastaffari · #6

Καλησπέρα
θα προσπαθήσω να την λύσω κάπως ποιο παιδικά

$Z^{2}-W+1=0 \Leftrightarrow Z^{2}+1=W$
εφόσον οι εικόνες των Z,W,0 ειναι συνευθειακά σημεια θα είναι επισης συνευθειακα και οι εικόνες των $Z^{2}+1$ ,

Άρα αν Ζ=χ+ψi τοτε η εικονα του Ζ ειναι το Μ(χ,ψ) και του $Z^{2}+1$ το Ν $\left(\chi ^{2}-\psi ^{2}+1,2x\psi \righ$
εφόσον $\vec{OM}//\vec{ON}$ έχουμε det( $\vec{OM},\vec{ON}$ )=0 $\Leftrightarrow\psi \left(\chi ^{2}-\psi ^{2}+1-2\chi ^{2} \right)=0$
οπότε είναι η ο μοναδιαίος κύκλος η ή ψ=0

#7

Ένας άλλος τρόπος χρησιμοποιώντας τους συζυγείς
Με z = 0 τα Ο(0,0) και Μ(z) ταυτίζονται , άρα συνευθειακά
με $z\neq 0$ τα σημεία Ο(0,0) Μ(z) και Α(z^2+1) είναι συνευθειακά $\Leftrightarrow \vec{OA}//\vec{OM}\Leftrightarrow \upsilon \pi \alpha \rho \chi \varepsilon \iota$ $\lambda \epsilon R$ ώστε $\vec{OA}=\lambda \cdot \vec{OM} \Leftrightarrow \frac{\vec{OA}}{\vec{OM}}=\lambda \Leftrightarrow \frac{\bar{z}^2+1}{\bar{z}}=\frac{z^2+1}{z}\Leftrightarrow (z-\bar{z})\cdot (z\cdot\bar{z}-1) = 0$
Άρα ο γτ είναι ο μοναδιαίος κύκλος και ο χ'χ

Χρήστος

Γεωμετρικός τόπος

Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Μέλη σε σύνδεση