Αλγεβρα - Γεωμετρία ... σημειώσατε Χ

KARKAR · #1

Να λυθούν (ει δυνατόν αυτόνομα) τα εξής 2 προβλήματα :

1) Σε κύκλο ακτίνας

είναι εγγεγραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο ABC

, και

είναι τυχαίο σημείο του επιπέδου .

Δείξτε ότι : $SA+SB+SC\geq 3R$ .

2) Για τους μιγαδικούς w,u,v

ισχύουν : |w|=|u|=|v|=R

και

Δείξτε ότι για οποιονδήποτε μιγαδικό

είναι : $|z-w|+|z-u|+|z-v|\geq 3R$

S.E.Louridas · #2

Πάντως το πρώτο είναι άμεση εφαρμογή του θεωρήματος:
Το άθροισμα των αποστάσεων τυχόντος σημείου από τις κορυφές τριγώνου γίνεται ελάχιστο, οταν αυτό συμπέσει με το σημείο Steiner του τριγώνου δηλαδη όταν βρεθεί στην θέση να βλέπει και τις τρείς πλευρές του τριγώνου με γωνία 120-μοιρών.

S.E.Louridas

#3

Το 1ο διαφορετικά:

Γνωρίζουμε, ότι αν $\displaystyle{S}$ σημείο του επιπέδου και $\displaystyle{ABC}$ τρίγωνο εμβαδού $\displaystyle{E,}$ τότε ισχύει

$\displaystyle{aSA+bSB+cSC\geq 4E.}$

Εν προκειμένω, είναι $\displaystyle{a=b=c=\sqrt{3}R}$ και $\displaystyle{E=\frac{a^2\sqrt{3}}{4},}$

οπότε προκύπτει η ζητούμενη.

KARKAR · #4

Αναρτώ λύση - απόδειξη (με 2 θεωρήματα) του πρώτου προβλήματος .

Στο ισόπλευρο προφανώς είναι SA+SB+SC=3R

, όταν το

είναι το σημείο Steiner

του τριγώνου.

Στις γωνίες απουσιάζει το σύμβολο της μοίρας . (Για γωνίες $> 120^{o}$ η απόδειξη διαφέρει λίγο , αλλά εδώ δεν μας απασχολεί )

Το 2ο πρόβλημα , είναι (σχεδόν) προφανής εφαρμογή των συμπερασμάτων του πρώτου .

Αναμένεται ανεξάρτητη απόδειξη ...

Αλγεβρα - Γεωμετρία ... σημειώσατε Χ

Αλγεβρα - Γεωμετρία ... σημειώσατε Χ

Re: Αλγεβρα - Γεωμετρία ... σημειώσατε Χ

Re: Αλγεβρα - Γεωμετρία ... σημειώσατε Χ

Re: Αλγεβρα - Γεωμετρία ... σημειώσατε Χ

Μέλη σε σύνδεση