Ακέραιες πλευρές τριγώνου!

#1

Να βρεθούν τα μήκη των πλευρών τριγώνου, αν γνωρίζουμε ότι αυτά είναι ακέραια και ότι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ισούται με $\displaystyle{1}$ .

#2

έχουμε
$\displaystyle{s(s-a)(s-b)(s-c)=s^2.1^2\Rightarrow (s-a)(s-b)(s-c)=s\Rightarrow (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=4(a+b+c)}$

Θέτω $\displaystyle{(a+b-c)=x,(b+c-a)=y,(c+a-b)=z,\x,y,z\in N^*}$ [1] και εστω $\displaystyle{x\ge y\ge z}$

Τότε $\displaystyle{xyz=4(x+y+z)/le 12x\Rightarrow yz\le 12 \Rightarrow z^2\le 12 \Rightarrow z=3,2,1}$ και $\displaystyle{1\le y\le 12}$

αν $\displaystyle{z=3}$ τότε $\displaystyle{x=\frac{4y+12}{3y-4}}$ άρα θα πρέπει $\displaystyle{\frac{4y+12}{3y-4}\ge y\ge 3}$ η οποία δίνει $\displaystyle{y=3}$ και μη ακέραιο x

αν $\displaystyle{z=2}$ τότε $\displaystyle{x=\frac{2y+4}{y-2}}$ άρα θα πρέπει $\displaystyle{\frac{2y+4}{y-2}\ge y\ge 2}$ η οποία δίνει $\displaystyle{y=3,4}$ με αντίστοιχα $\displaystyle{x=10,6}$

αν $\displaystyle{z=1}$ τότε $\displaystyle{x=\frac{4y+4}{y-4}}$ άρα θα πρέπει $\displaystyle{\frac{4y+4}{y-4}\ge y\ge 1}$ η οποία δίνει $\displaystyle{y=5,6,8}$ με αντίστοιχα $\displaystyle{x=24,14,9}$

λύνοντας το συστημα [1] βρίσκουμε ότι μόνη δεκτή λύση είναι η $\displaystyle{a=4,b=3,c=5}$

Ακέραιες πλευρές τριγώνου!

Ακέραιες πλευρές τριγώνου!

Re: Ακέραιες πλευρές τριγώνου!

Μέλη σε σύνδεση