Ισχυρότερη από την Finsler-Hadwiger!

#1

Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ . Χρησιμοποιώντας τον συνήθη συμβολισμό, αποδείξτε ότι

$\displaystyle{a^2+b^2+c^2 \geq 4\sqrt{3}E+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+16Rr\left(\sum \cos ^{2}\frac{A}{2}-\sum \cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2} \right) .}$

#2

επαναφορά...

#3

Μία υπόδειξη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#4

Αφού είδαμε αυτό, ας "κλείσουμε" και αυτό, που έχει μείναι καιρό άλυτο.

Έστω $\displaystyle{{I_a}}$ , $\displaystyle{{I_b}}$ και $\displaystyle{{I_c}}$ τα παράκεντρα του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ . Όπως αποδείχθηκε εδώ, το τρίγωνο $\displaystyle{{I_a}{I_b}{I_c}}$ έχει πλευρές

$\displaystyle{4R\cos \frac{A}{2}}$ , $\displaystyle{4R\cos \frac{B}{2}}$ , $\displaystyle{4R\cos \frac{C}{2}}$

και εμβαδόν ίσο με $\displaystyle{2sR}$ .

Εφαρμόζοντας την ανισότητα Finsler-Hadwiger στο τρίγωνο $\displaystyle{{I_a}{I_b}{I_c}}$ βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{16{R^2}\left( {{{\cos }^2}\frac{A}{2} + {{\cos }^2}\frac{B}{2} + {{\cos }^2}\frac{C}{2}} \right) \ge }$
$\displaystyle{8\sqrt 3 sR + 16{R^2}\left[ {{{\left( {\cos \frac{A}{2} - \cos \frac{B}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\cos \frac{B}{2} - \cos \frac{C}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\cos \frac{C}{2} - \cos \frac{A}{2}} \right)}^2}} \right].}$ (1)

Χρησιμοποιώντας τους τύπους

$\displaystyle{{\cos ^2}\frac{A}{2} = \frac{{s\left( {s - a} \right)}}{{bc}},}$

$\displaystyle{{\cos ^2}\frac{B}{2} = \frac{{s\left( {s - b} \right)}}{{ca}}}$
και
$\displaystyle{{\cos ^2}\frac{C}{2} = \frac{{s\left( {s - c} \right)}}{{ab}}}$ ,

το αριστερό μέλος της (1) γράφεται:

$\displaystyle{16{R^2}s\frac{{a\left( {s - a} \right) + b\left( {s - b} \right) + c\left( {s - c} \right)}}{{abc}} = 8{R^2}s\frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2} - 2{a^2} - 2{b^2} - 2{c^2}}}{{4Rrs}} = }$
$\displaystyle{8{R^2}s\frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2} - 2{a^2} - 2{b^2} - 2{c^2}}}{{4Rrs}} = \frac{{2R}}{r}\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2} - {{\left( {a - b} \right)}^2} - {{\left( {b - c} \right)}^2} - {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right].}$

Επομένως, η (1) γράφεται ισοδύναμα:

$\displaystyle{\frac{{2R}}{r}\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2} - {{\left( {a - b} \right)}^2} - {{\left( {b - c} \right)}^2} - {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right] \ge }$
$\displaystyle{8\sqrt 3 sR + 32{R^2}\left( {\sum {{{\cos }^2}\frac{A}{2}} - \sum {\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}} } \right),}$

που είναι ισοδύναμη με την αποδεικτέα ανισότητα, αφού $\displaystyle{E = rs}$ .

Ισχυρότερη από την Finsler-Hadwiger!

Ισχυρότερη από την Finsler-Hadwiger!

Re: Ισχυρότερη από την Finsler-Hadwiger!

Re: Ισχυρότερη από την Finsler-Hadwiger!

Re: Ισχυρότερη από την Finsler-Hadwiger!

Μέλη σε σύνδεση