Τοπικά ακρότατα θέλω , δείτε υποερώτημα

Henri van Aubel · #1

Μία άσκηση έλεγε το εξής: Την έβαλα σε μαθητές μου και με κοίταξαν περίεργα.

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}^{\ast }\rightarrow \mathbb{R}$ με $\displaystyle f{'}\left ( x \right )=e^{x}-\frac{1}{x},\forall x\neq 0.$

Το ένα υποερώτημα ήταν: Να μελετήσετε την

ως προς τα τοπικά ακρότατα.

$\bullet$ Η

είναι παραγωγίσιμη στο $\left ( -\infty,0 \right )$ με $\displaystyle f{''}\left ( x \right )=e^{x}+\frac{1}{x^{2}}> 0,\forall x\in \left ( -\infty,0 \right )$ και η

συνεχής στο $\left ( -\infty,0 \right )$ , άρα η f{'}

είναι γνησίως αύξουσα στο $\left ( -\infty,0 \right ).$ Η f{'}

είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $\left ( -\infty,0 \right )$ , επομένως $\displaystyle f{'}\left ( \left ( -\infty,0 \right ) \right )=\left ( \lim_{x\rightarrow -\infty}f{'}\left ( x \right ),\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f{'}\left ( x \right ) \right )$ , όπου:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}f{'}\left ( x \right )=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x\cdot e^{x}-1}{x}$

και αφού $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}x\cdot e^{x}=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x}{e^{-x}}\overset{DLH}=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{-e^{-x}}=0$ , έπεται ότι :

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}(x\cdot e^{x}-1)=-1$ και συνεπώς $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}f{'}\left ( x \right )=0.$

Και $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}}f{'}\left ( x \right )=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{x\cdot e^{x}-1}{x}=+\infty.$

Επομένως $\displaystyle f{'}\left ( \left ( -\infty,0 \right ) \right )=\left ( 0,+\infty \right )$ και άρα η f{'}

δεν έχει ρίζα στο $\left ( -\infty,0 \right ).$ Αν η

παρουσίαζε τοπικό ακρότατο σε κάποιο $x_{0}< 0$ , τότε αφού είναι παραγωγίσιμη στο $x_{0}$ , από Θ. Fermat θα ήταν $f{'}\left ( x_{0} \right )=0$ , άτοπο.

$\bullet$ Η f{'}

είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο $\left ( 0,+\infty \right )$ με $\displaystyle f{''}\left ( x \right )=e^{x}+\frac{1}{x^{2}}> 0,\forall x\in \left ( 0,+\infty \right )$ , άρα η f{'}

είναι γνησίως αύξουσα στο $\left ( 0,+\infty \right ).$ Η f{'}

είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $\left ( 0,+\infty \right )$ , επομένως:

$\displaystyle f{'}\left ( \left ( 0,+\infty \right ) \right )=\left ( \lim_{x\rightarrow 0^{+}}f{'}\left ( x \right ),\lim_{x\rightarrow +\infty}f{'}\left ( x \right ) \right )$ , όπου:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}f{'}\left ( x \right )=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x\cdot e^{x}-1}{x}=-\infty.$

Και $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f{'}\left ( x \right )=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x\cdot e^{x}-1}{x}\overset{DLH}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^{x}+x\cdot e^{x}}{1}=+\infty.$

Επομένως $\displaystyle f{'}\left ( \left ( 0,+\infty \right ) \right )=\mathbb{R}$ και άρα η f{'}

έχει ρίζα $x_{0}> 0$ και αφού είναι γνησίως αύξουσα στο $\left ( 0,+\infty \right )$ , το $x_{0}$ είναι μοναδικό.
Επίσης:
$f{'}\left ( x \right )> 0\Leftrightarrow f{'}\left ( x \right )> f{'}\left ( x_{0} \right )\overset{\forall x> 0\Rightarrow f{''}\left ( x \right )> 0}\Leftrightarrow x> x_{0}$

$f{'}\left ( x \right )< 0\Leftrightarrow f{'}\left ( x \right )< f{'}\left ( x_{0} \right )\overset{\forall x> 0\Rightarrow f{''}\left ( x \right )> 0}\Leftrightarrow 0< x< x_{0}$

$f{'}\left ( x \right )=0\Leftrightarrow f{'}\left ( x \right )=f{'}\left ( x_{0} \right )\overset{\forall x> 0\Rightarrow f{''}\left ( x \right )> 0}\Leftrightarrow x=x_{0}$

και η

είναι συνεχής στο $\left ( 0,+\infty \right )$ , άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\left ( 0, x_{0}\right ]$ και γνησίως αύξουσα στο $\left [ x_{0} ,+\infty\right )$ , παρουσιάζοντας τοπικό ελάχιστο στο μοναδικό αυτό $x_{0}> 0.$

abgd · #2

Δύο παρατηρήσεις....

Για $\displaystyle{x<0}$ προφανώς $\displaystyle{e^x-\frac{1}{x}>0}$ , οπότε η $\displaystyle{f}$ δεν έχει τοπικά ακρότατα στο $\displaystyle{(-\infty,0)$ .

Τα όρια της $\displaystyle{f' }$ προκύπτουν εύκολα, χωρίς να κάνουμε ομώνυμα.

Henri van Aubel · #3

Εντάξει. Δεκτό. Απλά, θεωρώ ότι η λύση μου δείχνει πως μπορούμε να εργαστούμε ακόμα κι αν δεν προκύπτουν τόσο ευκολα τα συμπεράσματα, όσο στην προκειμένη περίπτωση. Σκόπιμα χρησιμοποίησα το Θ. Fermat, γιατί θεωρώ ότι προσδίδει μια ποικιλία στη λύση.

Henri van Aubel · #4

Ψάχνω σύμβολα γνήσιας μονοτονίας στο

Ξέρει κανείς παιδιά;
Ευχαριστώ.

Tolaso J Kos · #5

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 26, 2023 9:13 pm
Ψάχνω σύμβολα γνήσιας μονοτονίας στο
Ξέρει κανείς παιδιά;
Ευχαριστώ.

Με το tikz. $\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw[>->, line width=1.5pt] (0, 0) -- (0, 0.5); \end{tikzpicture}}$ , $\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw[<-<, line width=1.5pt] (0, 0) -- (0, 0.5); \end{tikzpicture}}$

Κώδικας: Επιλογή όλων

\begin{tikzpicture} 
\draw[>->, line width=1.5pt] (0, 0) -- (0, 0.5); 
\end{tikzpicture}

Κώδικας: Επιλογή όλων

\begin{tikzpicture} 
\draw[<-<, line width=1.5pt] (0, 0) -- (0, 0.5); 
\end{tikzpicture}

Παίξε αν θες με το μήκος του τόξου.

Henri van Aubel · #6

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 26, 2023 11:28 pm

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 26, 2023 9:13 pm
Ψάχνω σύμβολα γνήσιας μονοτονίας στο
Ξέρει κανείς παιδιά;
Ευχαριστώ.
Με το tikz. ,
Κώδικας: Επιλογή όλων
\begin{tikzpicture} 
\draw[>->, line width=1.5pt] (0, 0) -- (0, 0.5); 
\end{tikzpicture}
Κώδικας: Επιλογή όλων
\begin{tikzpicture} 
\draw[<-<, line width=1.5pt] (0, 0) -- (0, 0.5); 
\end{tikzpicture}
Παίξε αν θες με το μήκος του τόξου.

Σ ευχαριστώ Τόλη, το tikz όμως δεν πρέπει να το κατεβάσω ;

Tolaso J Kos · #7

Όχι, είναι ήδη φορτωμένο στο

. Οι εντολές που έδωσα παραπάνω τρέχουν μια χαρά !!!

Henri van Aubel · #8

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 27, 2023 8:29 am
Όχι, είναι ήδη φορτωμένο στο . Οι εντολές που έδωσα παραπάνω τρέχουν μια χαρά !!!

Thanks! Δεν σου απάντησα χθες, γιατί είχα λίγα νεύρα λόγω του παιχνιδιού ΑΕΚ-Μαρσέιγ. Μας έσφαξαν. Μετά το 2-1, το παιχνίδι πήγε κατά διαόλου...

Τοπικά ακρότατα θέλω , δείτε υποερώτημα

Τοπικά ακρότατα θέλω , δείτε υποερώτημα

Re: Τοπικά ακρότατα θέλω , δείτε υποερώτημα

Re: Τοπικά ακρότατα θέλω , δείτε υποερώτημα

Re: Τοπικά ακρότατα θέλω , δείτε υποερώτημα

Re: Τοπικά ακρότατα θέλω , δείτε υποερώτημα

Re: Τοπικά ακρότατα θέλω , δείτε υποερώτημα

Re: Τοπικά ακρότατα θέλω , δείτε υποερώτημα

Re: Τοπικά ακρότατα θέλω , δείτε υποερώτημα

Μέλη σε σύνδεση