Ανισοτική σχέση με κυρτότητα

Πυθαγόρεια Τριάδα · #1

Έστω $f : [0, +\infty) \to \mathbb{R}$ μια δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο διάστημα $[0,+\infty)$ με:

$\forall x \in [0, +\infty) : {f}''(x) >0$

α) Να δείξετε ότι $\lim_{x\to +\infty } f(x) = +\infty$
β) Να δείξετε ότι η

παρουσιάσει τοπικό μέγιστο και ένα ολικό ελάχιστο.
γ)Να δείξετε ότι $f(x) -x \leq 2$ για κάθε $x \in [0,2]$ . Έπειτα να εξηγήσετε γεωμετρικά το αποτέλεσμα.
δ)Να βρείτε, εάν υπάρχει, το όριο $\lim_{x \to 3 }\frac{f(2x) - 4x }{f(x-3) - x +1}$
ε)Να δείξετε ότι $\int_{0}^{2} f(x) dx < 6$

ma128 · #2

Λάθος.

#3

ma128 έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 08, 2022 7:11 pm

γ)Έστω οτι: $f(x)-x>2, x \in [0,2]$

Τότε: $f(x)-2>x \Leftrightarrow lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\geq lim_{x\rightarrow 0}1 \Leftrightarrow {f}'(0)\geq 1$

Άτοπο, καθώς ${f}'(0)<{f}'(\xi)=0<1$

Προσοχή. Εδώ έχεις ένα σοβαρό λογικό σφάλμα.

Η άρνηση της " $f(x) -x \leq 2$ για κάθε $x \in [0,2]$ " δεν είναι αυτή που γράφεις αλλά η "υπάρχει $x \in [0,2]$ με f(x)-x>2

". Ο ίδιος όμως χρησιμοποιείς το "για κάθε", όπως φαίνεται από το γεγονός ότι χρειάζεσαι ΟΛΑ τα

κοντά στο

όταν παίρνεις όριο.

Διορθώνεται η κατάσταση, η άσκηση άλλωστε είναι αρκετά απλή με συνηθισμένα βήματα, αλλά πρέπει να γίνει σωστά.

#4

ma128 έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 08, 2022 7:11 pm

γ)Απο θεώρημα χορδών, για , έχουμε:

$\frac{f(x)-2}{x-2}\leq \frac{f(2)-2}{2}\Leftrightarrow f(x)\leq (x-2)\frac{f(2)-2}{2}+2$

Κάπου σε χάνω γιατί κάνεις τα εύκολα δύσκολα. Π.χ. κάνεις αρκετά βήματα στο γ) με παραγωγίσεις και λοιπά για να καταλήξεις ότι μία ευθεία όπως είναι η

, είναι μονότονη. Εδώ g(x)=(x-2)(f(2)-2)-2x= (f(2)-4)x-2(f(2)-2)=Ax+B

και η μονοτονία δεν θέλει θεωρίες.

Αλλού όμως είναι το πρόβλημά μου. Στο παραπάνω ο ισχυρισμός που έπεται του " $\Leftrightarrow$ " προκύπτει από το αριστερό μέλος με πολλαπλασιασμό επί x-2

. Σωστά; Όμως έχουμε 0<x<2

, που σημαίνει ότι πολλαπλασιάζουμε επί τον αρνητικό x-2

. Δεν έπρεπε να δω την ανισότητα αντεστραμένη;

Ίσως δεν βλέπω κάτι.

abgd · #5

Πυθαγόρεια Τριάδα έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 08, 2022 3:30 pm
Έστω $f : [0, +\infty) \to \mathbb{R}$ μια δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο διάστημα $[0,+\infty)$ με:

$\forall x \in [0, +\infty) : {f}''(x) >0$

α) Να δείξετε ότι $\lim_{x\to +\infty } f(x) = +\infty$
β) Να δείξετε ότι η παρουσιάσει τοπικό μέγιστο και ένα ολικό ελάχιστο.
γ)Να δείξετε ότι $\color{red}{f(x) -x \leq 2$ για κάθε $x \in [0,2]}$ . Έπειτα να εξηγήσετε γεωμετρικά το αποτέλεσμα.
δ)Να βρείτε, εάν υπάρχει, το όριο $\lim_{x \to 3 }\frac{f(2x) - 4x }{f(x-3) - x +1}$
ε)Να δείξετε ότι $\int_{0}^{2} f(x) dx < 6$

Μήπως το σημειωμένο με κόκκινο να το ξαναδείτε!

Αντιπαράδειγμα: $f(x)=e^{x(x-1)}+1, x\geq 0$

Επίσης, ποιο είναι το νόημα του 2f(0) = 2f(1) = 4

; Προφανώς θέλατε να γράψετε κάτι διαφορετικό.

Christos.N · #6

abgd έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 09, 2022 10:27 am

Επίσης, ποιο είναι το νόημα του ; Προφανώς θέλατε να γράψετε κάτι διαφορετικό.

Να είσαι καλά που πήγες στο αντιπαράδειγμα γιατί

Μάλλον πάμε για το $2f(0) = 2f(1) = \color{red}{f(2)}\color{black}{=4}$

ma128 · #7

Christos.N έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 09, 2022 1:44 pm
Να είσαι καλά που πήγες στο αντιπαράδειγμα γιατί

Ομοίως

#8

Το (γ) λύνεται αν υποθέσουμε ότι $\displaystyle 2f(0) = f(2) = 4$
Μετά , όμως , δεν λύνεται το (β) . Άρα συμφωνώ με το Χρήστο .

ma128 · #9

ΜΕ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΟΤΙ: f(2)=4

β)Απο Θ.Rolle για την

στο

, προκύπτει οτι υπάρχει $\xi \in (0,1)$ ώστε ${f}'(\xi)=0$

Αφού ${f}''(x)>0, \forall x\geq 0$

Έπεται οτι η {f}'

είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό , και άρα η $x=\xi$ είναι η μοναδική της ρίζα.

Επομένως, ισχύει: ${f}'(x)<0, \forall x<\xi$ και ${f}'(x)>0, \forall x>\xi$

Άρα, η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $[0,\xi]$ και γνησίως αύξουσα στο $(\xi,+\infty)$

Έτσι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για x=0

το

και ολικό ελάχιστο για $x=\xi$ το $f(\xi)$ .

α)Απο ΘΜΤ για την

στα

και

, υπάρχουν $\xi_1 \in (1,2)$ και $\xi_2 \in (2,x)$ τέτοια ώστε:

${f}'(\xi_1)=2$

${f}'(\xi_2)=\frac{f(x)-4}{x-2}$

Ισχύει: $\xi_1<\xi_2$ και {f}'

αύξουσα

Επομενως: ${f}'(\xi_1)<{f}'(\xi_2) \Leftrightarrow f(x)>2(x-2)+4 \Rightarrow lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$

γ)Θεωρώ: $g(x)=f(x)-x, x\geq 0$

{g}'(x)={f}'(x)-1

${g}''(x)={f}''(x)>0, \forall x\geq 0$

Παρατηρώ ότι: $g(\xi)=-1$ και $g(\xi_1)=1$

Επομένως, απο θ.Μπολζάνο , υπάρχει, και λόγω μονοτονίας είναι μοναδικό, $x_0, \in (\xi,\xi_1)$ , ώστε ${g}'(x_0)=0$

Άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα για x<x_0

και γνησίως αύξουσα για x>x_0

Δηλαδή, για $x\in [0,2]$ , ισχύει: $g(x)\leq g(0)=g(2)=2\Leftrightarrow f(x)-x\leq 2$

δ) ΜΕ ΕΠΙΦΥΛΑΞΗ

Ο παρανομαστής είναι: g(x-3)-2

, και γνωρίζω ότι: $g(x-3)\leq 2, x\in[3,5]$ .

Επομένως: $lim_{x\rightarrow3^+} f(x-3)-x+1=0^-$

Ενώ, ο αριθμητής είναι: g(2x)-2x

Θεωρώ: $h(x)=g(x)-x, x\geq 0$

Παρατηρώ οτι: h(2)=0

${h}''(x)={g}''(x)={f)''(x)>0, \forall x\geq 0$

Παρατηρώ, ότι: ${h}'(\xi_1)=0$ και λόγω μονοτονίας αποτελεί μοναδική ρίζα.

Άρα, η

είναι φθίνουσα στο $[, \xi_1]$ και αύξουσα στο $(\xi_1,+\infty)$ .

Επομένως ισχύει: $h(x)>0, \forall x>2$

Και έτσι: $lim_{x\rightarrow 3}h(2x)>0 \Leftrightarrow lim_{x\rightarrow3}f(x)-4x>0$

Τελικά: $lim_{x\rightarrow 3}\frac{f(x)-4x}{f(x-3)-x+1}=-\infty$

ε) Προκύπτει άμεσα απο την ανισότητα του γ)

$\int _0^2f(x)dx<\int _0^2(x+2)dx=[\frac{x^2}{2}+2x]_0^2=6$

abgd · #10

ma128 έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 09, 2022 4:56 pm
ΜΕ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΟΤΙ:

β)Απο Θ.Rolle για την στο , προκύπτει οτι υπάρχει $\xi \in (0,1)$ ώστε ${f}'(\xi)=0$

Αφού ${f}''(x)>0, \forall x\geq 0$

Έπεται οτι η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό , και άρα η $x=\xi$ είναι η μοναδική της ρίζα.

Επομένως, ισχύει: ${f}'(x)<0, \forall x<\xi$ και ${f}'(x)>0, \forall x>\xi$

Άρα, η είναι γνησίως φθίνουσα στο $[0,\xi]$ και γνησίως αύξουσα στο $(\xi,+\infty)$

Έτσι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για το και ολικό ελάχιστο για $x=\xi$ το $f(\xi)$ .

α)Απο ΘΜΤ για την στα και , υπάρχουν $\xi_1 \in (1,2)$ και $\xi_2 \in (2,x)$ τέτοια ώστε:

${f}'(\xi_1)=2$

${f}'(\xi_2)=\frac{f(x)-4}{x-2}$

Ισχύει: $\xi_1<\xi_2$ και αύξουσα

Επομενως: ${f}'(\xi_1)<{f}'(\xi_2) \Leftrightarrow f(x)>2(x-2)+4 \Rightarrow lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$

γ)Θεωρώ: $g(x)=f(x)-x, x\geq 0$

${g}''(x)={f}''(x)>0, \forall x\geq 0$

Παρατηρώ ότι: $g(\xi)=-1$ και $g(\xi_1)=1$

Επομένως, απο θ.Μπολζάνο , υπάρχει, και λόγω μονοτονίας είναι μοναδικό, $x_0, \in (\xi,\xi_1)$ , ώστε ${g}'(x_0)=0$

Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα για και γνησίως αύξουσα για

Δηλαδή, για $x\in [0,2]$ , ισχύει: $g(x)\leq g(0)=g(2)=2\Leftrightarrow f(x)-x\leq 2$

δ) ΜΕ ΕΠΙΦΥΛΑΞΗ

Ο παρανομαστής είναι: , και γνωρίζω ότι: $g(x-3)\leq 2, x\in[3,5]$ .

Επομένως: $lim_{x\rightarrow3^+} f(x-3)-x+1=0^-$

Ενώ, ο αριθμητής είναι:

Θεωρώ: $h(x)=g(x)-x, x\geq 0$

Παρατηρώ οτι:

${h}''(x)={g}''(x)={f)''(x)>0, \forall x\geq 0$

Παρατηρώ, ότι: ${h}'(\xi_1)=0$ και λόγω μονοτονίας αποτελεί μοναδική ρίζα.

Άρα, η είναι φθίνουσα για $x<\xi_1$ και αύξουσα, για $x>\xi_1$ .

Επομένως ισχύει: $h(x)>0, \forall x>2$

Και έτσι: $lim_{x\rightarrow 3}h(2x)>0 \Leftrightarrow lim_{x\rightarrow3}f(x)-4x>0$

Τελικά: $lim_{x\rightarrow 3}\frac{f(x)-4x}{f(x-3)-x+1}=-\infty$

ε) Προκύπτει άμεσα απο την ανισότητα του γ)

$\int _0^2f(x)dx<\int _0^2(x+2)dx=[\frac{x^2}{2}+2x]_0^2=6$

Μια παρατήρηση πρώτα: Δεν γράφουμε ότι "η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, (φθίνουσα), για χ...." Δεν υπάρχει η έννοια της μονοτονίας σε κάποιον αριθμό χ.

Καλή είναι η λύση σου

εκτός, ίσως, από το δ), στο οποίο θα μπορούσαμε να απαντήσουμε ως εξής:

Για το όριο του παρονομαστή έχουμε:

$\displaystyle{\lim_{x\to3^+} \left(f(x-3)-x+1\right)=\lim_{u\to0^+}{\left(f(u)-u-2\right)}=f(0)-2=0}$ ,

με u=x-3

και εφόσον η

συνεχής.

Από το γ) ερώτημα έχουμε ότι $\displaystyle{f(u)-u-2<0}$ , για u>0

και "κοντά" στο

.

Άρα το όριο του παρονομαστή είναι

και οι τιμές του για

"κοντά" στο

αρνητικές.

Για το όριο του αριθμητή έχουμε:

$\displaystyle{\lim_{x\to3}{f(2x)-4x}=f(6)-12}$ , λόγω συνέχειας της

.

Έχουμε δείξει στο α) ότι $\displaystyle{f(x)>2x, \ \ \forall x>2}$ και έτσι f(6)>12

.

Άρα το όριο του αριθμητή είναι θετικός αριθμός, οπότε το ζητούμενο όριο θα είναι $-\infty$

Και ένα σχόλιο....

Τελικά έχουμε μία καλή άσκηση και έτσι οφείλουμε να συγχωρήσουμε το λάθος δεδομένο της "Πυθαγόρειας Τριάδας" καθώς και τη σιωπή της!

abgd · #11

Και επειδή μια εικόνα είναι χίλιες λέξεις...

: synarthsi .png (44.54 KiB) Προβλήθηκε 1593 φορές

ma128 · #12

abgd έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 10, 2022 11:19 am

Μια παρατήρηση πρώτα: Δεν γράφουμε ότι "η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, (φθίνουσα), για χ...." Δεν υπάρχει η έννοια της μονοτονίας σε κάποιον αριθμό χ.

Όντως, έχετε δίκιο.Διορθώθηκε
Ευχαριστώ πολύ για τις επισημάνσεις.

Ανισοτική σχέση με κυρτότητα

Ανισοτική σχέση με κυρτότητα

Re: Ανισοτική σχέση με κυρτότητα

Re: Ανισοτική σχέση με κυρτότητα

Re: Ανισοτική σχέση με κυρτότητα

Re: Ανισοτική σχέση με κυρτότητα

Re: Ανισοτική σχέση με κυρτότητα

Re: Ανισοτική σχέση με κυρτότητα

Re: Ανισοτική σχέση με κυρτότητα

Re: Ανισοτική σχέση με κυρτότητα

Re: Ανισοτική σχέση με κυρτότητα

Re: Ανισοτική σχέση με κυρτότητα

Re: Ανισοτική σχέση με κυρτότητα

Μέλη σε σύνδεση