Χμ.. άσκηση σε θ. Bolzano?

demy · #1

Πρόσφατα ανακάλυψα μία άσκηση (έχω την αίσθηση ότι την είδα σε ένα αρχείο word στο mathematica, σχετικό με ασκήσεις στο θεώρημα Boltzano) και μου έκανε μεγάλη εντύπωση. Δεν προσπάθησα και πάρα πολύ αλλά είμαι πολύ περίεργη να δω την λύση . Λοιπόν, η εκφώνηση έλεγε :
Οι συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες στο με και . Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τέτοιο ώστε

Είναι προφανές ότι υπάρχει σταθερό σημείο για τις f,g

(χωρίς να είναι κατ' ανάγκην τα ίδια). Ωστόσο τι πληροφορίες μπορούμε να πάρουμε από την ισότητα των συνθέσεων τους ;;

#2

demy έγραψε:Πρόσφατα ανακάλυψα μία άσκηση (έχω την αίσθηση ότι την είδα σε ένα αρχείο word στο mathematica, σχετικό με ασκήσεις στο θεώρημα Boltzano) και μου έκανε μεγάλη εντύπωση. Δεν προσπάθησα και πάρα πολύ αλλά είμαι πολύ περίεργη να δω την λύση . Λοιπόν, η εκφώνηση έλεγε :
Οι συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες στο με και . Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τέτοιο ώστε

Είναι προφανές ότι υπάρχει σταθερό σημείο για τις (χωρίς να είναι κατ' ανάγκην τα ίδια). Ωστόσο τι πληροφορίες μπορούμε να πάρουμε από την ισότητα των συνθέσεων τους ;;

...μαζί με το καλώς ήλθες στην παρέα μας μιά και είναι η πρώτη σου δημοσίευση...
δίνω μία προσέγγιση στο προβληματισμό σου και σχετικά καταλήγω...

Θεωρούμε την συνάρτηση $h(x)=f(x)-x,\,\,\,\,x\in [0,\,\,1]$ που είναι συνεχής με $h(0)=f(0)\ge 0$ και $h(x)=f(1)-1\le 0$

και αν f(0)=0

τότε έχουμε ρίζα το

και αν

τότε έχουμε ρίζα το

και αν $f(0)\ne 0,\,\,f(1)\ne 1$ τότε h(0)h(1)<0

και από θεώρημα Bolzano υπάρχει ${{x}_{1}}\in (0,1)$ ώστε $h({{x}_{1}})=0$ άρα σε κάθε περίπτωση η $h(x)=f(x)-x,\,\,\,\,x\in [0,\,\,1]$

έχει ρίζα στο ${{x}_{1}}\in [0,\,\,1]$ Ανάλογα σκεπτόμενοι για την $\phi (x)=g(x)-x,\,\,\,\,x\in [0,\,\,1]$ δείχνουμε ότι υπάρχει

${{x}_{2}}\in [0,1]$ ώστε $\phi ({{x}_{2}})=0\Leftrightarrow g({{x}_{2}})={{x}_{2}}$

Τώρα από $f({{x}_{1}})={{x}_{1}}$ ισχύει ότι $g(f({{x}_{1}}))=g({{x}_{1}})$ και λόγω $f\circ g=g\circ f$ θα είναι $f(g({{x}_{1}}))=g({{x}_{1}})$ οπότε

$g({{x}_{1}})$ είναι ρίζα της $h(x)=f(x)-x,\,\,\,\,x\in [0,\,\,1]$

Όμως από τα δεδομένα του προβλήματος δεν εξασφαλίζεται η μοναδικότητα της ρίζας της

$h(x)=f(x)-x,\,\,\,\,x\in [0,\,\,1]$ άρα μπορεί να είναι και $g({{x}_{1}})\ne {{x}_{1}}$

Θεωρώ το θέμα γίνεται ενδιαφέρον με ή γνήσια φθίνουσα στο $[0,\,\,1]$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

demy · #3

Ευχαριστώ για το καλοσόρισμα

Χμ.. ωραία ως εδώ . Ωστόσο, ένα βήμα παραπέρα τώρα.. Η άσκηση αυτή εμφανίστηκε μπροστά μου γιατί στην ουσία με απασχολούσε η άσκηση 9 από εδώ http://eclass.uoa.gr/modules/document/f ... %CE%BE.pdf

Απλά νομίζω ότι καλό θα ήταν να μεταφέρουμε κάπου αλλού το θέμα γιατί ξεφεύγει από τα πλαίσια του λυκείου...

edit. Θα προσπαθήσω να βρω το ίδιο το φυλλάδιο για να είμαστε σίγουροι.
edit 2. Βρήκα το φυλλάδιο και μάλιστα δίνει ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Μου φαίνεται αρκετά παράξενο.. Έχει ασκήσεις πάνω στο θεώρημα boltzano. Αν ενδιαφέρεστε μπορείτε να το βρείτε εδώ : users.sch.gr/kbour/SYN2.doc . Η άσκηση που ρώτησα ειναι η 24.

kanenas · #4

Τι σύμπτωση...πριν λίγο καιρό έλυσα μια άσκηση που μοιάζει πολύ με αυτήν. Το δεύτερο μέρος της άσκησης είναι ως εξής:

''Δίνονται οι γνησίως φθίνουσες συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , με f συνεχή και $f(g(x))=g(f(x)), \forall x \in \mathbb{R}$
α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $h(x)=f(x)-x, x \in \mathbb{R}$ είναι γνησίως μονότονη
β.Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ακριβώς ένα $x_{0} \in \mathbb{R}$ , ώστε να ισχύει $f(x_{0} )=x_{0}$
γ. Για το $x_{0}$ του ερωτήματος β να αποδείξετε ότι $g(x_{0} )=x_{0}$

Χμ.. άσκηση σε θ. Bolzano?

Χμ.. άσκηση σε θ. Bolzano?

Re: Χμ.. άσκηση σε θ. Boltzano?

Re: Χμ.. άσκηση σε θ. Boltzano?

Re: Χμ.. άσκηση σε θ. Bolzano?

Μέλη σε σύνδεση