Να βρείτε την συνάρτηση

Henri van Aubel · #1

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\left ( 0,+\infty \right )\rightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύουν:

$\displaystyle x\cdot f{'}\left ( x \right )=\frac{x+1}{e^{f\left ( x \right )}+1}$ , για κάθε x> 0

και

$f\left ( 1 \right )=0$

Να δείξετε ότι $f\left ( x \right )=\textup{ln}x,x> 0$ .

Y.Γ Την θεωρώ σχετικά βατή!

Tolaso J Kos · #2

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 04, 2023 5:50 pm
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\left ( 0,+\infty \right )\rightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύουν:

$\displaystyle x\cdot f{'}\left ( x \right )=\frac{x+1}{e^{f\left ( x \right )}+1}$ , για κάθε και

$f\left ( 1 \right )=0$

Να δείξετε ότι $f\left ( x \right )=\textup{ln}x,x> 0$ .

Είναι:

$\displaystyle{\begin{aligned} x f'(x) = \frac{x+1}{e^{f(x)} +1} &\Rightarrow \left ( e^{f(x)} +1 \right ) f'(x) = 1 + \frac{1}{x} \\ &\Rightarrow e^{f(x)} f'(x) + f'(x) = 1 + \frac{1}{x} \\ &\Rightarrow \left ( e^{f(x)} + f(x) \right )' = \left( x + \ln x \right)’\\ &\Rightarrow e^{f(x)} + f(x) = x + \ln x + c \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overset{f(1) =0 \Rightarrow c=0}{\! =\! =\! =\! =\! =\! \Rightarrow } e^{f(x)} + f(x) = x + \ln x \end{aligned}}$

Όμως, η h(x)=e^x+x

είναι

στο $\mathbb{R}$ καθώς είναι γνησίως αύξουσα. Συνεπώς, η τελευταία σχέση γράφεται

$\displaystyle{h \left ( f(x) \right ) = h \left ( \ln x \right ) \Leftrightarrow f(x) = \ln x}$
Τελικά, $f(x) = \ln x \, , \, x >0$ .

Henri van Aubel · #3

Πολύ ωραία Τόλη! Εγώ τους επισημαίνω (στους μαθητές μου) ότι όταν παραγωγίζουμε σχέσεις δεν βάζουμε ποτέ ισοδυναμία, μόνο συνεπαγωγή!

Για λόγους διατύπωσης...

Είναι $e^{f\left ( x \right )}f{'}\left ( x \right )+f{'}\left ( x \right )=\left ( e^{f\left ( x \right )}+f\left ( x \right ) \right ){'}=\left ( x+\textup{ln}x \right ){'}$

από όπου $e^{f\left ( x \right )}+f\left ( x \right )=x+\textup{ln}x+c$ .

$f\left ( 1 \right )=0$ , επομένως $e^{f\left ( 1 \right )}+f\left ( 1 \right )=1+\textup{ln}1+c\Leftrightarrow c=0$ και άρα:

$e^{f\left ( x \right )}+f\left ( x \right )=x+\textup{ln}x=e^{\textup{ln}x}+\textup{ln}x$ , για κάθε x> 0

.

Θεωρούμε την συνάρτηση $g\left ( x \right )=e^{x}+x,x> 0$ η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με $g{'}\left ( x \right )=e^{x}+1> 0$ ,για κάθε x> 0

, άρα είναι γνησίως αύξουσα, οπότε και 1-1

.

Επομένως: $g\left ( f\left ( x \right ) \right )=g\left ( \textup{ln}x \right )\overset{1-1}\Leftrightarrow f\left ( x \right )=\textup{ln}x$ , για κάθε x> 0

.

Υ.Γ Νομίζω ότι το θέμα ήταν της Ο.Ε.Φ.Ε αλλά δεν θυμάμαι. Θυμάμαι ότι έδινε ως ''γέφυρα'' το υποερώτημα: Να δείξετε ότι η συνάρτηση $g\left ( x \right )=e^{x}+x,x> 0$ είναι αντιστρέψιμη. Είπα όμως να μην το δώσω, γιατί μετά η άσκηση είναι ''μασημένη τροφή'' ...

Να βρείτε την συνάρτηση

Να βρείτε την συνάρτηση

Re: Να βρείτε την συνάρτηση

Re: Να βρείτε την συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση