Απορία στην κυρτότητα

konstantinos5 · #1

Καλησπέρα σας, θα ήθελα να παραθέσω την λύση μου πάνω σε μια άσκηση στην μελέτη κυρτότητας και να μου πείτε αν κάπου έχω κάνει λάθος.
Έχουμε, $f(x)=\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+1 &,x\leq 0 & \\ -2x^{2}+1 &,x>0 & \end{matrix}\right.$
η οποία ειναι παραγωγίσιμη στο 0 με f'(0)=0

, επομένως :
$f'(x)=\left\{\begin{matrix} 4x&, x\leq 0 & \\ -4x&,x>0 & \end{matrix}\right.$ η οποία είναι συνεχής στο 0. Για την f''

:

$f''(x)=\left\{\begin{matrix} 4&,x<0 & \\ -4 &,x>0 & \end{matrix}\right.$
Τώρα η

είναι συνεχής στο $(-\infty ,0]$ και $f''(x)>0, \forall x<0$ οπότε απ' το θεώρημα της κυρτότητας η

είναι κυρτή στο $(-\infty ,0]$ . Αντίστοιχα,

συνεχής στο $(0, +\infty)$ (αφου οριζεται για x>0) και $f'' (x)<0, \forall x>0$ άρα η

είναι κοίλη στο $(0, +\infty)$ . Σωστά ; Σε πολλές λύσεις βλέπω να παρουσιάζουν και στις 2 περιπτώσεις κλειστό διάστημα, αλλά δεν καταλαβαίνω το λόγο.
Ευχαριστώ.
Κωνσταντίνος, Μαθητής Γ' λυκείου.

#2

Εφόσον ορίζεται και είναι συνεχής στο άκρο του διαστήματος πρέπει να μπαίνει κλειστό και στις δύο περιπτώσεις.
Δες και τις ανάλογες ασκήσεις του σχολικού ( Π.χ Α ομάδα 3ιιι )
Όσο για το λόγο ... είναι θέμα ορισμού .

konstantinos5 · #3

Σωστά όμως έτσι όπως έχω γράψει ορίζεται και ο δεύτερος κλάδος στο 0 ; Ή δεν μας πειράζει;

#4

Δεν μας πειράζει . Εφόσον είναι συνεχής δεν έχει πλέον σημασία από ποιον κλάδο βρίσκουμε το $\displaystyle f(0)$
Ας δούμε και τη σχετική άσκηση .

konstantinos5 · #5

Σας ευχαριστώ πολύ! Και κάτι άλλο. Έχω δει σε πάρα πολλές ασκήσεις όταν έχουμε μια δίκλαδη συνάρτηση (και η f" είναι θετικη ή αντίστοιχα αρνητική σε διάστημα $(a,x_o)\cup (x_o, b)$ ) να μην εξετάζεται η συνέχεια της παραγώγου στο σημείο αλλαγής τύπου

, αλλά να βγαίνει γενικό συμπέρασμα για την κυρτότητα της

μόνο από την συνέχειά της δηλαδή (

κυρτή στο

ή αντίστοιχα κοίλη). Αυτό δεν είναι λαθος ; Προσωπικά εξετάζω πάντα και την συνεχεια της

πρωτού μιλήσω για κυρτότητα.
Ξέρουμε πως η f είναι παραγωγίσιμη στο (a, b)

.

KARKAR · #6

: ises.png (39.93 KiB) Προβλήθηκε 3765 φορές

Και μια σχετική ερώτηση : Είναι ίσες οι συναρτήσεις :

$f(x)=\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+1 &,x\leq 0 & \\ -2x^{2}+1 &,x>0 & \end{matrix}\right.$

και

$g(x)=\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+1 &,x< 0 & \\ -2x^{2}+1 &,x\geq0 & \end{matrix}\right.$

Αν ναι , γιατί να έχουν διαφορετική μεταχείριση ;

konstantinos5 · #7

Είναι ίσες ναι. Επομένως επειδή η

είναι συνεχής και στους 2 κλάδους στο 0 μπορούμε και βάζουμε κλειστό, σωστά ;

abgd · #8

konstantinos5 έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 17, 2022 11:23 pm
Σας ευχαριστώ πολύ! Και κάτι άλλο. Έχω δει σε πάρα πολλές ασκήσεις όταν έχουμε μια δίκλαδη συνάρτηση (και η f" είναι θετικη ή αντίστοιχα αρνητική σε διάστημα $(a,x_o)\cup (x_o, b)$ ) να μην εξετάζεται η συνέχεια της παραγώγου στο σημείο αλλαγής τύπου , αλλά να βγαίνει γενικό συμπέρασμα για την κυρτότητα της μόνο από την συνέχειά της δηλαδή ( κυρτή στο ή αντίστοιχα κοίλη). Αυτό δεν είναι λαθος ; Προσωπικά εξετάζω πάντα και την συνεχεια της πρωτού μιλήσω για κυρτότητα.
Ξέρουμε πως η f είναι παραγωγίσιμη στο .

Πολύ καλό το ερώτημά σου.

Πρέπει να εξετάζουμε τη συνέχεια της παραγώγου στο x_0

για να μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η παράγωγος είναι γνησίως αύξουσα, ή γνησίως φθίνουσα, στο (a,b)

οπότε η

είναι κυρτή, ή κοίλη, στο (a,b)

. Διαφορετικά θα πρέπει να πούμε ότι είναι κυρτή στα διαστήματα (a,x_0]

και

.
Βέβαια θα είναι πάντα συνεχής η παράγωγος στο x_0

, εφόσον οι συναρτήσεις στις οποίες εξετάζεστε είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους.

konstantinos5 · #9

abgd έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 18, 2022 8:19 pm

konstantinos5 έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 17, 2022 11:23 pm
Σας ευχαριστώ πολύ! Και κάτι άλλο. Έχω δει σε πάρα πολλές ασκήσεις όταν έχουμε μια δίκλαδη συνάρτηση (και η f" είναι θετικη ή αντίστοιχα αρνητική σε διάστημα $(a,x_o)\cup (x_o, b)$ ) να μην εξετάζεται η συνέχεια της παραγώγου στο σημείο αλλαγής τύπου , αλλά να βγαίνει γενικό συμπέρασμα για την κυρτότητα της μόνο από την συνέχειά της δηλαδή ( κυρτή στο ή αντίστοιχα κοίλη). Αυτό δεν είναι λαθος ; Προσωπικά εξετάζω πάντα και την συνεχεια της πρωτού μιλήσω για κυρτότητα.
Ξέρουμε πως η f είναι παραγωγίσιμη στο .
Πολύ καλό το ερώτημά σου.
Πρέπει να εξετάζουμε τη συνέχεια της παραγώγου στο για να μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η παράγωγος είναι γνησίως αύξουσα, ή γνησίως φθίνουσα, στο οπότε η είναι κυρτή, ή κοίλη, στο . Διαφορετικά θα πρέπει να πούμε ότι είναι κυρτή στα διαστήματα και .
Βέβαια θα είναι πάντα συνεχής η παράγωγος στο , εφόσον οι συναρτήσεις στις οποίες εξετάζεστε είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους.

Σας ευχαριστώ πολύ.

Apo.Antonis · #10

konstantinos5 έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 17, 2022 11:23 pm
Σας ευχαριστώ πολύ! Και κάτι άλλο. Έχω δει σε πάρα πολλές ασκήσεις όταν έχουμε μια δίκλαδη συνάρτηση (και η f" είναι θετικη ή αντίστοιχα αρνητική σε διάστημα $(a,x_o)\cup (x_o, b)$ ) να μην εξετάζεται η συνέχεια της παραγώγου στο σημείο αλλαγής τύπου , αλλά να βγαίνει γενικό συμπέρασμα για την κυρτότητα της μόνο από την συνέχειά της δηλαδή ( κυρτή στο ή αντίστοιχα κοίλη). Αυτό δεν είναι λαθος ; Προσωπικά εξετάζω πάντα και την συνεχεια της πρωτού μιλήσω για κυρτότητα.
Ξέρουμε πως η f είναι παραγωγίσιμη στο .

Αν έχεις κάποια άσκηση που θες να δούμε πιο αναλυτικά να την ανεβάσεις, όμως υπάρχει η περίπτωση να βρίσκεσαι στο εξής στο λεπτό σημείο:

Από τις οδηγίες διδασκαλίας την παραγράφου 2.8 (κυρτότητα) οι συναρτήσεις που θα μελετηθούν θα πρέπει να είναι -τουλάχιστον- δύο φορές παραγωγίσιμες στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού τους.
( και γίνεται εξαίρεση των ερωτημάτων iv,v της άσκησης 3 από την παράγραφο 2.8 )

Ξέρεις βέβαια ότι αν είναι δύο φορές παραγωγίσιμη η

, η

είναι συνεχής, επομένως με αυτή την υπόθεση είναι πλεονασμός να εξετάσεις την συνέχεια της παραγώγου.

Προσοχή Κωνσταντίνε, η απάντηση μου δεν αφορά την γενική περίπτωση αλλά αποκλειστικά το πλαίσιο του σχολείου-εξετάσεων.

Απορία στην κυρτότητα

Απορία στην κυρτότητα

Re: Απορία στην κυρτότητα

Re: Απορία στην κυρτότητα

Re: Απορία στην κυρτότητα

Re: Απορία στην κυρτότητα

Re: Απορία στην κυρτότητα

Re: Απορία στην κυρτότητα

Re: Απορία στην κυρτότητα

Re: Απορία στην κυρτότητα

Re: Απορία στην κυρτότητα

Μέλη σε σύνδεση