Laplace σε πολικές συντεταγμένες

forscience · #1

Καλησπέρα,

Έχω μια απορία σχετικά με την λύση Laplace σε πολικές συντεταγμένες. Δεν καταλαβαίνω πως βγαίνει η σούμα, δηλαδή ο δεύτερος όρος. Θα μπορούσε κάποιος να μου εξηγήσει πως βγαίνει το αποτέλεσμα και ιδίως ο δεύτερος όρος;

: Polikes.jpg (21.06 KiB) Προβλήθηκε 1684 φορές

ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ · #2

Έχει σχέση με την ηλεκτρομαγνητική δύναμη Laplace;

#3

forscience έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 07, 2020 3:58 pm
Καλησπέρα,

Έχω μια απορία σχετικά με την λύση Laplace σε πολικές συντεταγμένες. Δεν καταλαβαίνω πως βγαίνει η σούμα, δηλαδή ο δεύτερος όρος. Θα μπορούσε κάποιος να μου εξηγήσει πως βγαίνει το αποτέλεσμα και ιδίως ο δεύτερος όρος;

Χωρίς να δούμε ποια μορφή της Laplace έχεις, δεν μπορούμε να απαντήσουμε με ακρίβεια. Γενικά πάντως η μέθοδος αντιμετώπισης μας οδηγεί ότι έχουμε λύσεις της μορφής $\rho ^n \sin (n\Phi)$ και $\rho ^n \cos (n\Phi)$ για κάθε ακέραιο $n\ne 0$ , οπότε (λόγω γραμμικότητας της εξίσωσης) οποιοδήποτε άθροισμα τέτοιων λύσεων είναι επίσης λύση. Η σούμα που βλέπεις είναι τέτοιο άθροισμα (με σταθερούς συντελεστές που τους αναζητάμε) της μορφής τελικής λύσης που ψάχνουμε.

forscience · #4

ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 07, 2020 4:23 pm
Έχει σχέση με την ηλεκτρομαγνητική δύναμη Laplace;

Ναι σε αγωγό

forscience · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 07, 2020 5:22 pm

Χωρίς να δούμε ποια μορφή της Laplace έχεις, δεν μπορούμε να απαντήσουμε με ακρίβεια. Γενικά πάντως η μέθοδος αντιμετώπισης μας οδηγεί ότι έχουμε λύσεις της μορφής $\rho ^n \sin (n\Phi)$ και $\rho ^n \cos (n\Phi)$ για κάθε ακέραιο $n\ne 0$ , οπότε (λόγω γραμμικότητας της εξίσωσης) οποιοδήποτε άθροισμα τέτοιων λύσεων είναι επίσης λύση. Η σούμα που βλέπεις είναι τέτοιο άθροισμα (με σταθερούς συντελεστές που τους αναζητάμε) της μορφής τελικής λύσης που ψάχνουμε.

Ευχαριστώ για την απάντηση. Συγγνώμη, αλλά δεν μπορώ να γράψω πάρα πολλά, σέρνεται ο σέρβερ σας, κάθε τόσο και λιγάκι βγάζει σφάλματα. Πρέπει να γυρίσω τουλάχιστον 3 φορές πίσω την σελίδα και να ξαναποστάρω.

Εδώ είναι το σχήμα. Είναι ένας αγωγός ή ένας κύλινδρος μήκους μήκους $\ell$ και ακτίνας R. Το $\sigma$ είναι η αγωγιμότητα, αλλά μαθηματικά στην εξίσωση Laplace δεν παίζει απολύτως κανένα ρόλο. Απλά για να μην μπερδευτεί κανείς. Η γενική λύση της εξίσωσης Laplace για τις πολικές συντεταγμένες δίνεται στην άσκηση όπως ακριβώς την πόσταρα αρχικώς. Το φ μικρό είναι το δυναμικό, αλλά στα μαθηματικά μπορεί κανείς να το θέσει σαν f(ρ,Φ), όπου Φ κεφαλαίο είναι η γωνία. U είναι η τάση. Για να μην τα πολυλογώ, η εξίσωση περιορίζεται στο $\rho ^n \sin (n\Phi)$ βάσει του σχήματος.

Η γενική λύση της εξίσωσης Laplace για πολικές συντεταγμένες που δίνεται στην άσκηση, συμπεριλαμβάνει και τις γραμμικές, αλλά και εκθετικές διαφορικές εξισώσεις. Πως γίνεται αυτό; Είναι σωστό;

: agogos.jpg (44.98 KiB) Προβλήθηκε 1647 φορές

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

forscience έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 07, 2020 7:25 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 07, 2020 5:22 pm

Χωρίς να δούμε ποια μορφή της Laplace έχεις, δεν μπορούμε να απαντήσουμε με ακρίβεια. Γενικά πάντως η μέθοδος αντιμετώπισης μας οδηγεί ότι έχουμε λύσεις της μορφής $\rho ^n \sin (n\Phi)$ και $\rho ^n \cos (n\Phi)$ για κάθε ακέραιο $n\ne 0$ , οπότε (λόγω γραμμικότητας της εξίσωσης) οποιοδήποτε άθροισμα τέτοιων λύσεων είναι επίσης λύση. Η σούμα που βλέπεις είναι τέτοιο άθροισμα (με σταθερούς συντελεστές που τους αναζητάμε) της μορφής τελικής λύσης που ψάχνουμε.
Ευχαριστώ για την απάντηση. Συγγνώμη, αλλά δεν μπορώ να γράψω πάρα πολλά, σέρνεται ο σέρβερ σας, κάθε τόσο και λιγάκι βγάζει σφάλματα. Πρέπει να γυρίσω τουλάχιστον 3 φορές πίσω την σελίδα και να ξαναποστάρω.

Εδώ είναι το σχήμα. Είναι ένας αγωγός ή ένας κύλινδρος μήκους μήκους $\ell$ και ακτίνας R. Το $\sigma$ είναι η αγωγιμότητα, αλλά μαθηματικά στην εξίσωση Laplace δεν παίζει απολύτως κανένα ρόλο. Απλά για να μην μπερδευτεί κανείς. Η γενική λύση της εξίσωσης Laplace για τις πολικές συντεταγμένες δίνεται στην άσκηση όπως ακριβώς την πόσταρα αρχικώς. Το φ μικρό είναι το δυναμικό, αλλά στα μαθηματικά μπορεί κανείς να το θέσει σαν f(ρ,Φ), όπου Φ κεφαλαίο είναι η γωνία. U είναι η τάση. Για να μην τα πολυλογώ, η εξίσωση περιορίζεται στο $\rho ^n \sin (n\Phi)$ βάσει του σχήματος.

Η γενική λύση της εξίσωσης Laplace για πολικές συντεταγμένες που δίνεται στην άσκηση, συμπεριλαμβάνει και τις γραμμικές, αλλά και εκθετικές διαφορικές εξισώσεις. Πως γίνεται αυτό; Είναι σωστό;

agogos.jpg

Η λύση της Laplace που έχεις γράψει στην αρχή είναι για το χωρίο

$\left \{ (x,y):r^{2}<x^2+y^2<\rho ^2 \right \}$
με
$0\leq r< \rho \leq \infty$

Στα περισσότερα βιβλία PDE υπάρχει η κατασκευή.
Την γράφουμε σε πολικές και κάνουμε χωρισμό μεταβλητών.

κοίτα το
https://math.okstate.edu/people/binegar ... 63-l15.pdf

forscience · #7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 07, 2020 8:11 pm

Η λύση της Laplace που έχεις γράψει στην αρχή είναι για το χωρίο

$\left \{ (x,y):r^{2}<x^2+y^2<\rho ^2 \right \}$
με
$0\leq r< \rho \leq \infty$

Στα περισσότερα βιβλία PDE υπάρχει η κατασκευή.
Την γράφουμε σε πολικές και κάνουμε χωρισμό μεταβλητών.

κοίτα το
https://math.okstate.edu/people/binegar ... 63-l15.pdf

Την έλυσα την εξίσωση. Τώρα κατάλαβα γιατί έκανα λάθος στις πράξεις, ευχαριστώ πολύ!

Για ποιον λόγο δεν γράφεται στις κυλινδρικές συντεταγμένες; Αφού για έναν κύλινδρο πρόκειται. Μήπως επειδή το μήκος είναι πεπερασμένο ή το αντίθετο το μήκος του κυλίνδρου στο z-άξονα είναι άπειρο;

Παρακάτω στην λύση αναφέρει, επειδή ο κύλινδρος είναι συμμετρικός με γωνία Φ = 0 , εξαφανίζονται στην εξίσωση οι σταθερές $D_{0}$ = $D_{n}$ = 0. Πως συνδέονται οι δυο σταθερές; Η μια είναι γραμμική και η άλλη είναι εκθετική Euler, πραγματικό κομμάτι, που σημαίνει για γωνία $\frac{\pi }{2}$ το συνημίτονο μηδενίζεται.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

forscience έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 08, 2020 12:59 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 07, 2020 8:11 pm

Η λύση της Laplace που έχεις γράψει στην αρχή είναι για το χωρίο

$\left \{ (x,y):r^{2}<x^2+y^2<\rho ^2 \right \}$
με
$0\leq r< \rho \leq \infty$

Στα περισσότερα βιβλία PDE υπάρχει η κατασκευή.
Την γράφουμε σε πολικές και κάνουμε χωρισμό μεταβλητών.

κοίτα το
https://math.okstate.edu/people/binegar ... 63-l15.pdf
Την έλυσα την εξίσωση. Τώρα κατάλαβα γιατί έκανα λάθος στις πράξεις, ευχαριστώ πολύ!

Για ποιον λόγο δεν γράφεται στις κυλινδρικές συντεταγμένες; Αφού για έναν κύλινδρο πρόκειται. Μήπως επειδή το μήκος είναι πεπερασμένο ή το αντίθετο το μήκος του κυλίνδρου στο z-άξονα είναι άπειρο;

Παρακάτω στην λύση αναφέρει, επειδή ο κύλινδρος είναι συμμετρικός με γωνία Φ = 0 , εξαφανίζονται στην εξίσωση οι σταθερές $D_{0}$ = $D_{n}$ = 0. Πως συνδέονται οι δυο σταθερές; Η μια είναι γραμμική και η άλλη είναι εκθετική Euler, πραγματικό κομμάτι, που σημαίνει για γωνία $\frac{\pi }{2}$ το συνημίτονο μηδενίζεται.

Πήγαινε στο
https://eclass.upatras.gr/modules/units ... 58&id=6028
πάτα ενότητα 6 και διάβασε.
Αν εξακολουθείς να έχεις απορίες γράψτες.

forscience · #9

Πάνω στον ίδιο κύλινδρο με διαφορετικές γωνίες, πρέπει να υπολογίσω τα όρια ολοκλήρωσης της γωνίας α και της b. Η γωνία α είναι αντισυμμετρική δηλαδή από 0 έως -π και η γωνία b συμμετρική από 0 έως π. Υπολόγισα για την γωνία α, έχουμε από $-\pi + \frac{a}{2}$ έως $-\pi - \frac{a}{2}$ και για γωνία b από $\pi + \frac{b}{2}$ έως $\pi - \frac{b}{2}$ .

Δεν ξέρω αν είναι σωστό.

: Ορια ολοκλήρωσης.jpg (135.03 KiB) Προβλήθηκε 1490 φορές

Laplace σε πολικές συντεταγμένες

Laplace σε πολικές συντεταγμένες

Re: Laplace σε πολικές συντεταγμένες

Re: Laplace σε πολικές συντεταγμένες

Re: Laplace σε πολικές συντεταγμένες

Re: Laplace σε πολικές συντεταγμένες

Re: Laplace σε πολικές συντεταγμένες

Re: Laplace σε πολικές συντεταγμένες

Re: Laplace σε πολικές συντεταγμένες

Re: Laplace σε πολικές συντεταγμένες

Μέλη σε σύνδεση