Δ.Ε. 2ου βαθμού

Maria_Phys · #1

Έχω να λύσω την:
$x^{2} y{''}-3xy{'}+4y=0$

Και έχω κολλήσει, μετά από ένα σημείο και μετά.
Αν μπορούσε κάποιος να βοηθήσει θα του ήμουν ευγνώμων.

Ευχαριστώ!

#2

Θέτοντας $t=\log{x}$ , προκύπτουν

$\begin{aligned} \dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{dt}\,\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\,\dfrac{1}{x}\quad\Leftrightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} x\,\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{dy}{dt}\quad (1)\,,\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \dfrac{d^2y}{dx^2}&=\dfrac{d}{dx}\!\left({\dfrac{dy}{dx}}\right)=\dfrac{d}{dx}\!\left({\dfrac{dy}{dt}\,\dfrac{1}{x}}\right)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\dfrac{d}{dx}\!\left({\dfrac{dy}{dt}}\right)\,\dfrac{1}{x}+\dfrac{dy}{dt}\,\dfrac{d}{dx}\!\left({\dfrac{1}{x}}\right)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\dfrac{d}{dt}\!\left({\dfrac{dy}{dt}}\right)\,\dfrac{dt}{dx}\,\dfrac{1}{x}+\dfrac{dy}{dt}\,\dfrac{d}{dt}\!\left({-\dfrac{1}{x^2}}\right)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\left({\dfrac{d^2y}{dt^2}-\dfrac{dy}{dt}}\right)\dfrac{1}{x^2}\quad\Leftrightarrow \\\noalign{\vspace{0.2cm}} x^2\,\dfrac{d^2y}{dx^2}&=\dfrac{d^2y}{dt^2}-\dfrac{dy}{dt}\quad (2)\,. \end{aligned}$

Χρησιμοποιώντας τις (1)

και

η εξίσωση $x^2\,y''-3x\,y'+4y=0$ γίνεται

$\dfrac{d^2y}{dt^2}-\dfrac{dy}{dt}-3\dfrac{dy}{dt}+4y=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{d^2y}{dt^2}-4\dfrac{dy}{dt}+4y=0\quad (3)\,,$

η οποία είναι μια γραμμική ομογενής με σταθερούς συντελεστές. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της (3)

είναι $\rho^2-4\rho+4\quad\Leftrightarrow\quad({\rho-2})^2$ . Επομένως οι $y_1 (t)=e^{2t}$ , $y_2 (t)=t\,e^{2t}$ είναι δυο γραμμικώς ανεξάρτητες λύσεις και η γενική λύση της (3)

είναι η $y(t)=c_1\,e^{2t}+c_2\,t\,e^{2t}\,,\quad c_1,c_2\in\mathbb{R}\,.$ Άρα η γενική λύση της αρχικής εξίσωσης είναι $y(x)=c_1\,x^2+c_2\,x^2\log{x}\,,\quad c_1,c_2\in\mathbb{R}\,.$

#3

Η εξίσωση είναι Euler δεύτερης τάξης της μορφής
$\displaystyle{x^2y''(x)+axy'(x)+by(x)=0.}$
Η λύση της προκύπτει από τον υπολογισμό της δείκτριας που έχει μορφή:
r^2+(a-1)r+b=0,

δηλαδή
$\displaystyle{r^2+(-3-1)r+4=0 \Leftrightarrow r=2,r=2.}$
Αφού η δείκτρια έχει διπλή ρίζα το 2 η λύση της είναι:
$\displaystyle{y=c_1x^2+c_2x^2ln|x|.}$
Η εξίσωση λύνεται και με τη μέθοδο των δυναμοσειρών.

Δ.Ε. 2ου βαθμού

Δ.Ε. 2ου βαθμού

Re: Δ.Ε. 2ου βαθμού

Re: Δ.Ε. 2ου βαθμού

Μέλη σε σύνδεση