Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες

pito · #1

Καλημέρα

.

Λύνοντας εξίσωση Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες σε ένα σημείο χρειάζεται να λύσω την εξίσωση $r^{2}R''+2rR'-c_{2}R=0$ , η οποία είναι τύπου Euler. Τη λύνω θέτοντας $r=e^{t}$ και μετασχηματίζεται στην $R''+R'-c_{2}R=0$ (όπου τώρα ο τόνος δηλώνει παραγώγιση ως προς

).
Η τελευταία θα έχει λύση μορφής $e^{kt}$ , άρα ισοδύναμα έχω $e^{kt}(k^{2}+k-c_{2})=0\Leftrightarrow c_{2}=k(k+1)$ .

Κ μετά από όλα αυτά ( που μακάρι να είναι σωστά) κολλάω στο γιατί η τελευταία εξίσωση έχει λύσεις της μορφής $R(r)=Cr^{k}+Dr^{-(k+1)}$ .

Ευχαριστώ θερμά όποιον μπορεί να με βοηθήσει στο πως καταλήγουμε στο τελικό συμπέρασμα.

#2

pito έγραψε:Καλημέρα .

Λύνοντας εξίσωση Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες σε ένα σημείο χρειάζεται να λύσω την εξίσωση $r^{2}R''+2rR'-c_{2}R=0$ , η οποία είναι τύπου Euler. Τη λύνω θέτοντας $r=e^{t}$ και μετασχηματίζεται στην $R''+R'-c_{2}R=0$ (όπου τώρα ο τόνος δηλώνει παραγώγιση ως προς ).
Η τελευταία θα έχει λύση μορφής $e^{kt}$ , άρα ισοδύναμα έχω $e^{kt}(k^{2}+k-c_{2})=0\Leftrightarrow c_{2}=k(k+1)$ .
$R(r)=Cr^{k}+Dr^{-(k+1)}$ .

Έχουμε κάνει τις αλλαγές μεταβλητής $\displaystyle { r=e^t \, (*)$ και αργότερα $\displaystyle { R=e^{kt}$ (το οποίο

προσδιορίζεται από την $\displaystyle { k^{2}+k-c_{2}=0$ . Ας πούμε ότι οι ρίζες είναι $k_1, \, k_2$ ) .

΄Ετσι οι λύσεις μας είναι της μορφής $\displaystyle { R= Ce^{k_1t} + De^{k_2t}$ . Όμως από την (*)

έχουμε $\displaystyle { R= C \left (e^{t} \right )^{k_1}+ D\left (e^{t}\right )^{k_2} = Cr^{k_1}+Dr^{k_2}$ .

Ας προσθέσω ότι η απάντηση που γράφω είναι ίδια με την δική σου: Το

που γράφεις είναι ακριβέστερα k_1

. Τώρα, από Vieta είναι $\displaystyle { k_1+k_2= -1$ , οπότε $\displaystyle { k_2 = -(k_1+1)$

Ελπίζω να βοήθησα.

Φιλικά,

Μιχάλης

pito · #3

Κύριε Μιχάλη σας ευχαριστώ πολύ για την απάντησή σας. Ήταν τελικά πολύ απλό.

forscience · #4

pito έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 05, 2014 9:19 am
Καλημέρα .

Λύνοντας εξίσωση Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες σε ένα σημείο χρειάζεται να λύσω την εξίσωση $r^{2}R''+2rR'-c_{2}R=0$ , η οποία είναι τύπου Euler. Τη λύνω θέτοντας $r=e^{t}$ και μετασχηματίζεται στην $R''+R'-c_{2}R=0$ (όπου τώρα ο τόνος δηλώνει παραγώγιση ως προς ).
Η τελευταία θα έχει λύση μορφής $e^{kt}$ , άρα ισοδύναμα έχω $e^{kt}(k^{2}+k-c_{2})=0\Leftrightarrow c_{2}=k(k+1)$ .

Κ μετά από όλα αυτά ( που μακάρι να είναι σωστά) κολλάω στο γιατί η τελευταία εξίσωση έχει λύσεις της μορφής $R(r)=Cr^{k}+Dr^{-(k+1)}$ .

Ευχαριστώ θερμά όποιον μπορεί να με βοηθήσει στο πως καταλήγουμε στο τελικό συμπέρασμα.

Καλησπέρα, μπορεί κάποιος να μου στείλει την εξίσωση Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες; Εννοώ την γενική λύση για f(r,θ,φ)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

forscience έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 12, 2020 3:49 pm
Καλησπέρα, μπορεί κάποιος να μου στείλει την εξίσωση Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες; Εννοώ την γενική λύση για f(r,θ,φ)

http://www.physics.usu.edu/Wheeler/EM36 ... erical.pdf

Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες

Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες

Re: Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες

Re: Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες

Re: Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες

Re: Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες

Μέλη σε σύνδεση