Ρίζα περιττού

KARKAR · #1

: Ρίζα περιττού.png (9.77 KiB) Προβλήθηκε 163 φορές

Σε όλα τα τρίγωνα του θέματος , οι δύο πλευρές είναι ακέραιες και η τρίτη ρίζα περιττού ( μη τέλειου τετραγώνου ) .

Στο σχήμα φαίνεται ένας τρόπος για την $\sqrt{3}$ και δύο τρόποι για την $\sqrt{5}$ . Σχεδιάστε τέτοια τρίγωνα και για τις :

$\sqrt{7} , \sqrt{11} , \sqrt{13} , \sqrt{15} , \sqrt{17} , ...$ . Ποιες από αυτές γίνονται κατά δύο τρόπους ; Γίνεται κάποια κατά τρεις τρόπους ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 01, 2026 3:13 am
Ρίζα περιττού.pngΣε όλα τα τρίγωνα του θέματος , οι δύο πλευρές είναι ακέραιες και η τρίτη ρίζα περιττού ( μη τέλειου τετραγώνου ) .

Στο σχήμα φαίνεται ένας τρόπος για την $\sqrt{3}$ και δύο τρόποι για την $\sqrt{5}$ . Σχεδιάστε τέτοια τρίγωνα και για τις :

$\sqrt{7} , \sqrt{11} , \sqrt{13} , \sqrt{15} , \sqrt{17} , ...$ . Ποιες από αυτές γίνονται κατά δύο τρόπους ; Γίνεται κάποια κατά τρεις τρόπους ;

.
Στα παρακάτω θα συμβολίζουμε με

την υποτείνουσα και με b,c

τις κάθετες πλευρές των ορθογωνίων τριγώνων.

α) Για κάθε περιττό αριθμό 2n+1

υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με μία κάθετο $\sqrt {2n+1}$ και τις άλλες δύο πλευρές ακέραιες. Πράγρατι, απλά λαμβάνουμε $a=n+1, \, b=n, \, c=\sqrt {2n+1}$ . Είναι τότε a^2 = n^2+(2n+1)= b^2+c^2

.

O σχεδιασμός τέτοιων τριγώνων για τις ζητούμενες περιπτώσεις $\sqrt{7} , \sqrt{11} , \sqrt{13} , \sqrt{15} , \sqrt{17}$ είναι τώρα τετριμμένος. Π.χ. για το $\sqrt{17}$ είναι $17=2\cdot 8+1$ , οπότε παίρνουμε το τρίγωνο $a= 9, b=8, c= \sqrt {17}$ .

β) Θα δούμε ότι για κάποια

υπάρχουν τρίγωνα των οποίων η υποτείνουσα είναι $a= \sqrt {2n+1}$ . Οπότε αυτά τα τρίγωνα γίνονται κατά δύο ή παραπάνω τρόπους (ο ένας είναι στο (α), παραπάνω). Πράγματι, αφού

περιττός πρέπει τα αντίστοιχα b,c

να είναι το ένα άρτιο και το άλλο περιττό. Αρχίζουμε να σαρώνουμε τιμές αρχίζοντας για περιττά

αρχίζοντας από το b=1

.

δίνει υποτείνουνα $\sqrt 5$ .
b=1, c=4

δίνει υποτείνουνα $\sqrt {17}$
b=1, c=6

δίνει υποτείνουνα $\sqrt {37}$ και λοιπά.

Επίσης

b=3, c=2

δίνει υποτείνουνα $\sqrt {13}$ .
b=3, c=4

δίνει υποτείνουνα $\sqrt {25}$
b=3, c=6

δίνει υποτείνουνα $\sqrt {45}$ και λοιπά.

Επίσης

b=5, c=2

δίνει υποτείνουνα $\sqrt {29}$ .
b=3, c=4

δίνει υποτείνουνα $\sqrt {41}$
b=3, c=6

δίνει υποτείνουνα $\sqrt {61}$ και λοιπά.

Κατά σειρά μεγέθους οι υποτείνουσες είναι $\sqrt {5}, \sqrt {13}, \sqrt {17}, \sqrt {25}=5, \sqrt {29}, ...$

Oπότε τα μεγέθη αυτά γίνονται κατά δύο τρόπους, ενώ τα μη εμφανιζόμενα δεν δίνουν αντίστοιχο τρίγωνο. Αυτό απαντά στο τεθέν ερώρημα.

γ) Μένει να εξετάσουμε περιπτώσεις όπου γίνονται με τρεις τρόπους. Ας δούμε μία μέθοδο που δίνει τέτοιες περιπτώσεις.

Θέλουμε λοιπόν κάθετες b,c

και

τέτοιες ώστε b^2+c^2=e^2+f^2

. Ισοδύναμα (b-e)(b+e)= (f-c)(f+c)

(*). Επιλέγουμε

$b-e= \dfrac {1}{2}(f+c), \, b+e=2(f-c)$ , οπότε ικανοποιείται η (*). Είναι τότε $f = \dfrac {5b-3e}{4}, \, c = \dfrac {3b-5e}{4}$ . Αυτή έχει πολλές ακέραιες λύσεις. Π.χ. μία από άπειρες είναι η b=40, e=4

, οπότε και f=47, c=25

. Συνεπώς έχουμε τρίγωνα

$a= \sqrt {b^2+c^2}=\sqrt {2225}, b=40, c=25$ και ενα δεύτερο το $d= \sqrt {e^2+f^2}=\sqrt {2225}, e=4, f=47$ .

Με άλλα λόγια η πλευρά $\sqrt {2225}$ γίνεται με τρεις τρόπους. Μία από το (α), εδώ $a=1113, b=1112, c=\sqrt {2225}$ , και δύο που περιγράφτηκαν μόλις πριν.

Αν θέλουμε μία πιο μικρή ρίζα περιττού που γίνεται με τρεις τρόπους είναι η $\sqrt {65}$ που γίνεται από τα $(\sqrt {65}, 1,8)$ , και $(\sqrt {65}, 4,7)$ και $(33,32,\sqrt{65})$ .

Ρίζα περιττού

Ρίζα περιττού

Re: Ρίζα περιττού

Μέλη σε σύνδεση