mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Σεπ 12, 2025 12:06 pm**

: Βγάλτε το φίδι απ' την τρύπα.png (16.49 KiB) Προβλήθηκε 1489 φορές

Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο OAB

, με : $OA=2\sqrt{5} , OB=14$ . Με τα τμήματα AS , AT

, τριχοτομήστε την γωνία $\hat{A}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Σεπ 12, 2025 1:37 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 12, 2025 12:06 pm
Βγάλτε το φίδι απ' την τρύπα.pngΔίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο , με : $OA=2\sqrt{5} , OB=14$ . Με τα τμήματα , τριχοτομήστε την γωνία $\hat{A}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Σεπ 12, 2025 8:18 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 12, 2025 12:06 pm
Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο , με : $OA=2\sqrt{5} , OB=14$ . Με τα τμήματα , τριχοτομήστε την γωνία $\hat{A}$ .

.

: τριχοτόμηση.png (15.82 KiB) Προβλήθηκε 1421 φορές

.
Έχουμε $\tan 3\theta = \dfrac {14}{2\sqrt 5}$ , οπότε με $t=\tan \theta$ έχουμε $\dfrac {3t-t^3}{1-3t^2}= \dfrac {14}{2\sqrt 5}$ . Υψώνουμε στο τετράγωνο και τακτοποιούμε, οπότε

5t^6-226t^4+241t^2-49=0

. Θέτουμε

, οπότε έχουμε

5T^3-226T^2+241T-49=0

, ισοδύναμα (5T-1)(T^2-94T+49)=0

.

'Επεται $T = \dfrac {1}{5}$ , οπότε $\tan \theta =t= \dfrac {\sqrt 5}{5}$ . Συνεπώς $OS= OA \tan \theta = 2\sqrt 5 \cdot \dfrac {\sqrt 5}{5} = 2$ , $\boxed {OS=2}$

Έτσι σχεδιάζουμε την

, και από εκεί την

παίρνοντας $\widehat {SAT} = \widehat {OAS} = \theta$ .

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 13, 2025 6:12 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 12, 2025 12:06 pm
Βγάλτε το φίδι απ' την τρύπα.pngΔίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο , με : $OA=2\sqrt{5} , OB=14$ . Με τα τμήματα , τριχοτομήστε την γωνία $\hat{A}$ .

Αλλιώς. Στο σχήμα είναι LO=OS=x.

Είναι ακόμα, $AL=\sqrt{x^2+20}.$

: Το φίδι.png (11.88 KiB) Προβλήθηκε 1343 φορές

Θεώρημα διχοτόμου στο τρίγωνο ALB,

$\displaystyle \frac{{2x}}{{14 - x}} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 20} }}{{6\sqrt 6 }}.$ με δεκτή ρίζα $\boxed{x=2}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 14, 2025 9:36 am**

: Βγάλτε το φίδι απ' την τρύπα.png (21.91 KiB) Προβλήθηκε 1306 φορές

Αν βρω λύση , αυτή θα είναι μοναδική . Προφανής (σχεδόν) είναι η λύση του παρατιθέμενου σχήματος

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 14, 2025 10:30 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 14, 2025 9:36 am
Αν βρω λύση , αυτή θα είναι μοναδική . Προφανής (σχεδόν) είναι η λύση του παρατιθέμενου σχήματος

Σωστά, αλλά αυτή η λύση είναι σαφές ότι είναι προθύστερη. Συγκεκριμένα, ΑΝ ΞΕΡΕΙΣ ότι OS=2

, τότε τα υπόλοιπα μήκη είναι άμεσα. Δηλαδή, ουσιαστικά αυτή η λύση είναι έλεγχος ότι το

που βρήκαμε, είναι σωστό.

Όπως και να είναι, δεν θα τολμούσα να πω αυτή την λύση σε μαθητές μου, ακόμη και σε αυτούς που προπονούσα για Ολυμπιάδες. Και αυτό γιατί δεν μπορώ να ισχυριστώ ότι με "επιφοίτησε το Άγιο Πνεύμα" για το πρώτο βήμα OS=2

.

mathematica.gr

Βγάλτε το φίδι απ' την τρύπα

Βγάλτε το φίδι απ' την τρύπα

Re: Βγάλτε το φίδι απ' την τρύπα

Re: Βγάλτε το φίδι απ' την τρύπα

Re: Βγάλτε το φίδι απ' την τρύπα

Re: Βγάλτε το φίδι απ' την τρύπα

Re: Βγάλτε το φίδι απ' την τρύπα