Διασκεδαστική ανίσωση

KARKAR · #1

Να λυθεί η ανίσωση : $9^x+3^x\leq2\cdot 6^x$

Διασκεδάστε το ! ( Ποιος θα ήταν ο καταλληλότερος φάκελος ; )

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 30, 2022 9:46 am
Να λυθεί η ανίσωση : $9^x+3^x\leq2\cdot 6^x$

Διασκεδάστε το ! ( Ποιος θα ήταν ο καταλληλότερος φάκελος ; )

Απάντηση: $0\le x \le 1$ (με ισότητα στα άκρα).

Διαιρώντας με το 3^x

γίνεται ισοδύναμα $3^x+1\le 2\cdot 2^x$ .

Από ΑΜ-ΓΜ έχουμε για οποιοδήποτε

Ικανοποιει την ανίσωση, ότι $2\sqrt {3^x} \le 3^x+1\le 2\cod 2^x$ . Aρα $3^x \le 2^{2x}=4^x$ , οπότε $x\ge 0$ .

Συνεχίζουμε αλλά για λόγους που θα φανούν παρακάτω, αλλάζω το

σε

.

Για

θα δείξουμε ότι ισχύει η ανάποδη ανισότητα, και άρα δεν είναι λύσεις. Πράγματι η δοθείσα γράφεται $3^a-2^a \le 2^a-1^a$ . Από ΘΜΤ στην συνάρτηση f(x)=x^a

(γι' αυτό άλλαξα το

σε

ώστε η μεταβλητή της συνάρτησης να είναι το

, που έχουμε συνηθίσει) υπάρχουν $\xi$ και $\eta$ με $1<\eta<2 < \xi < 3$ τέτοια ώστε

$3^a-2^a= a\xi ^{a-1} (3-2)$ και $2^a-1^a=a\eta ^{a-1}(2-1)$ . Άρα

$3^a-2^a= a\xi ^{a-1} (3-2)= a\xi ^{a-1} > a\cdot 2^{a-1} > a\eta ^{a-1}= a\eta ^{a-1}(2-1) = 2^a-1^a$ , δηλαδή δεν ικανοποιούν την ανίσωση.

Αντιθέτως αν $0\le a \le 1$ , οπότε $a-1\le 0$ με ακριβώς το ίδιο επιχείρημα έχουμε (προσοχή, τώρα ο εκθέτης είναι αρνητικός)

$3^a-2^a= a\xi ^{a-1} (3-2)= a\xi ^{a-1} < a\cdot 2^{a-1} < a\eta ^{a-1}= a\eta ^{a-1}(2-1) = 2^a-1^a$ , δηλαδή ικανοποιούν την ανίσωση.

Σε ποιον φάκελο ταιριάζει; Με οδηγό την συγκεκριμένη λύση, μάλλον σε Γ' Λυκείου. Πάντως ο εδώ φάκελος είναι άκρως ακατάλληλος, παρά το ελκυστικό της συγκεκριμένης άσκησης. Αλλιώς θα τοποθετούσαμε εδώ και τα θέματα των Πανελληνίων, που θα ήταν σίγουρα μία άστοχη επιλογή.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 30, 2022 9:46 am
Να λυθεί η ανίσωση : $9^x+3^x\leq2\cdot 6^x$

Διασκεδάστε το ! ( Ποιος θα ήταν ο καταλληλότερος φάκελος ; )

Αε δούμε και τη γραφική παράσταση.

: Διασκεδαστική ανίσωση.png (11.81 KiB) Προβλήθηκε 390 φορές

Διασκεδαστική ανίσωση

Διασκεδαστική ανίσωση

Re: Διασκεδαστική ανίσωση

Re: Διασκεδαστική ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση