Θεώρημα Karsen

KARKAR · #1

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x}{x+1} , x>-1$ . Δείξτε ότι για : -1<a<b

ισχύει :

( Θεώρημα Karsen* )

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 06, 2026 6:21 pm
Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x}{x+1} , x>-1$ . Δείξτε ότι για :

ισχύει : ( Θεώρημα Karsen* )

Karsen: ,Συγγενής του Jensen, με καταγωγή από Καρδίτσα.

Tolaso J Kos · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 06, 2026 6:21 pm
Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x}{x+1} , x>-1$ . Δείξτε ότι για :

ισχύει : ( Θεώρημα Karsen* )

Δεν είναι άμεσο από τη Jensen; Η

είναι κοίλη στο δοθέν διάστημα.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 06, 2026 6:21 pm
Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x}{x+1} , x>-1$ . Δείξτε ότι για :

ισχύει : ( Θεώρημα Karsen* )

Θανάση, μάλλον κάπου υπάρχει τυπογραφική αβλεψία. Αλλιώς:

Αντιπαράδειγμα $a= -\dfrac {1}{2},\, b= \dfrac {1}{2}$ . Οδηγεί στην εσφαλμένη $0< -1 +\dfrac {1}{3}$

Είναι σωστή για x>0

αλλά τότε είναι και πολλή γνωστή (αργότερα θα αναφέρω πόθεν.)

KARKAR · #5

Διορθώνω :

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x}{x+1} , x>-1$ . Δείξτε ότι για : 0<a<b

ισχύει :

( Θεώρημα Karsen* )

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 06, 2026 9:03 pm
Διορθώνω :

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x}{x+1} , x>-1$ . Δείξτε ότι για :

ισχύει : ( Θεώρημα Karsen* )

$\dfrac {a+b}{a+b+1}= \dfrac {a}{a+b+1}+ \dfrac {b}{a+b+1} < \dfrac {a}{a+0+1}+ \dfrac {b}{0+b+1}$ , όπως θέλαμε.

Δύο σχόλια. α) Το θέμα είναι πάρα πολύ κοινό (αργότερα θα δώσω στοιχεία) και β) δεν έχει ΑΠΟΛΥΤΩΣ καμία σχέση με Διασκεδαστικά Μαθηματικά.

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Απρ 06, 2026 9:50 pm
α) Το θέμα είναι πάρα πολύ κοινό (αργότερα θα δώσω στοιχεία)

Η άσκηση είναι μία πάρα πολύ ειδική περίπτωση μετρικών σε Μετρικούς Χώρους, και βρίσκει κανείς μελέτη της σε όλα ανεξαιρέτως τα βιβλία Μετρικών Χώρων και στις περισσότερες Τοπολογίες (τουλάχιστον στις στοιχειώδεις).

Ακριβέστερα, αν d(x,y)

μία μετρική σε έναν χώρο, τότε στον ίδιο χώρο είναι μετρική και η $\dfrac {d(x,y)}{d(x,y) + 1}$ (*)

Βλέπε π.χ.

εδώ

και

εδώ

Ειδικά για d(a,b)= |a-b|

στο $\mathbb R$ παίρνουμε την δοθείσα.

Η αξία της (*) (που είναι ο λόγος που υπάρχει σε όλα τα βιβλία Μετρικών Χώρων) είναι γιατί η $\dfrac {d(x,y)}{d(x,y) + 1}$ είναι ισοδύναμη της d(x,y)

αλλά έχει ακόμα το πλεονέκτημα ότι είναι φραγμένη (από το

) ανεξάρτητα από το αν η

είναι φραγμένη ή όχι. Το γεγονός αυτό προκαλεί μία έκπληψη όταν το πρωτοβλέπει κανείς.

#8

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Απρ 06, 2026 6:47 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 06, 2026 6:21 pm
Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x}{x+1} , x>-1$ . Δείξτε ότι για :

ισχύει : ( Θεώρημα Karsen* )

Δεν είναι άμεσο από τη Jensen; Η είναι κοίλη στο δοθέν διάστημα.

Τόλη, δεν είναι η Jensen. H Jensen για την συγκεκριμένη περίπτωση λέει

$\displaystyle{f\left (\dfrac {a+b}{2} \right )<\dfrac {f(a)+f(b)}{2}}$

#9

Εκτελώντας τις πράξεις καταλήγω στην $\displaystyle \frac{{ab(a + b + 2)}}{{(a + 1)(b + 1)(a + b + 1)}} > 0,$ που ισχύει.

#10

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 06, 2026 9:03 pm
Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x}{x+1} , x>-1$ . Δείξτε ότι για :

ισχύει : ( Θεώρημα Karsen* )

.
Ας το δούμε και αλλιώς: Επειδή $\dfrac{x}{x+1}= 1- \dfrac{1}{x+1}$ το αποδεικτέο γίνεται $1- \dfrac{1}{a+b+1} < 1- \dfrac{1}{a+1}+ 1- \dfrac{1}{b+1}$ . Ισοδύναμα

$\dfrac{1}{a+1}+ \dfrac{1}{b+1} < 1+\dfrac{1}{a+b+1}$ ή αλλιώς $\dfrac{a+b+2}{(a+1)(b+1)} < \dfrac{a+b+2}{a+b+1}$ .

Διώχνουμε τους αριθμητές, οπότε θέλουμε να δείξουμε $\dfrac{1}{(a+1)(b+1)} < \dfrac{1}{a+b+1}$ , ισοδύναμα

a+b+1 < (a+1)(b+1)=ab+a+b+1

, που βέβαια ισχύει αφού ab>0

.

Θεώρημα Karsen

Θεώρημα Karsen

Re: Θεώρημα Karsen

Re: Θεώρημα Karsen

Re: Θεώρημα Karsen

Re: Θεώρημα Karsen

Re: Θεώρημα Karsen

Re: Θεώρημα Karsen

Re: Θεώρημα Karsen

Re: Θεώρημα Karsen

Re: Θεώρημα Karsen

Μέλη σε σύνδεση