Άνω όριο ή συντελεστής ;

KARKAR · #1

Η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα και ολοκληρώσιμη στο $[0,+\infty)$ , με : f(0)=0

. Για τους

πραγματικούς a,b

ισχύει :

. Κάποιος ισχυρίζεται το : $\displaystyle\int_{0}^{b} af(x)dx$ , είναι πάντα

μεγαλύτερο από το : $\displaystyle\int_{0}^{a}bf(x)dx$ . Συμφωνείτε ; Αν όχι δώστε ένα αντιπαράδειγμα .

Μην γκρινιάζετε για την επιλογή φακέλου . Το ερώτημα μου δημιουργήθηκε μόλις τώρα ,

φαίνεται ενδιαφέρον , αλλά δεν έχω απάντηση

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 14, 2025 8:10 pm
Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και ολοκληρώσιμη στο $[0,+\infty)$ , με : . Για τους

πραγματικούς ισχύει : . Κάποιος ισχυρίζεται το : $\displaystyle\int_{0}^{b} af(x)dx$ , είναι πάντα

μεγαλύτερο από το : $\displaystyle\int_{0}^{a}bf(x)dx$ . Συμφωνείτε ; Αν όχι δώστε ένα αντιπαράδειγμα .

Μην γκρινιάζετε για την επιλογή φακέλου . Το ερώτημα μου δημιουργήθηκε μόλις τώρα ,

φαίνεται ενδιαφέρον , αλλά δεν έχω απάντηση

Θανάση, ισχύει. Έχω απόδειξη δύο γραμμών, και θα την γράψω λίγο αργότερα. Τώρα είμαι εκτός.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 14, 2025 8:10 pm
Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και ολοκληρώσιμη στο $[0,+\infty)$ , με : . Για τους

πραγματικούς ισχύει : . Κάποιος ισχυρίζεται το : $\displaystyle\int_{0}^{b} af(x)dx$ , είναι πάντα

μεγαλύτερο από το : $\displaystyle\int_{0}^{a}bf(x)dx$ . Συμφωνείτε ; Αν όχι δώστε ένα αντιπαράδειγμα .

.
Αργότερα θα βάλω δεύτερη λύση, αλλά για την ώρα μία με παραγώγους. Θα γίνει χρήση (εδώ και στην δεύτερη λύση) της ιδιότητας ότι για αύξουσες συναρτήσεις έχουμε $\displaystyle{(d-c)f(c) \le \int _c^d f(x) dx \le (d-c)f(d), \, (*)}$ . Για γνήσια αύξουσες συναρτήσεις ισχύουν οι (*)

με γνήσια ανισότητα. Παρακάτω θα το κάνω για (σκέτο) αύξουσες αλλά αν θέλουμε γνήσια αύξουσες απλά ισχύουν τα ίδια με γνήσιες ανισότητες.

Θέλουμε να δείξουμε ότι $\displaystyle{\dfrac {1}{b} \int_{0}^{b} f(x)dx \ge \dfrac {1}{a} \int_{0}^{a}bf(x)dx}$

Παραγωγίζοντας έχουμε από την (*)

με

,

$\displaystyle{ \left ( \dfrac {1}{x} \int_{0}^{x} f(t)dt \right )'= \dfrac {xf(x) - \int_{0}^{x} f(t)dt }{ x^2 } \ge ^{(*)} 0}$

Άρα η $\displaystyle{\dfrac {1}{x} \int_{0}^{x} f(t)dt }$ είναι αύξουσα, από όπου το ζητούμενο.

.
.

#4

Aλλιώς,

$\displaystyle a\int_{0}^{b} f(x)dx = a\int_{0}^{a} f(x)dx + a\int_{a}^{b} f(x)dx \ge a\int_{0}^{a} f(x)dx +a(b-a) f(a) \ge$

$\displaystyle{\ge a\int_{0}^{a} f(x)dx +(b-a) \int_{0}^{a} f(x)dx =b\int_{0}^{a} f(x)dx}$

Christos.N · #5

Ο Θανάσης ζητάει "είναι μεγαλύτερο" ισχύει το γνήσιο; Νομίζω όχι.

#6

Christos.N έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 15, 2025 12:25 pm
Ο Θανάσης ζητάει "είναι μεγαλύτερο" ισχύει το γνήσιο; Νομίζω όχι.

Χρήστο, το έχω απαντήσει αυτό. Ισχύει η γνήσια ανισότητα αν η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα, όπως το θέτει ο Θανάσης.

Βλέπε ποστ #3 στην δεύτερη και τρίτη γραμμή της απάντησής μου.

abgd · #7

Αν θεωρήσουμε την συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=ab\dfrac{\int_{0}^{x}{f(t)}dt}{x}, \ \ x\in (0, +\infty)}$ τότε

$\displaystyle{g'(x)=ab\dfrac{xf(x)-\int_{0}^{x}{f(t)}dt}{x^2}=ab\dfrac{f(x)-f(\xi)}{x}>0}$ , με $\displaystyle{\xi \in (0,x)}$ έτσι ώστε $\displaystyle{\int_{0}^{x}{f(t)}dt=(x-0)f(\xi)}$

Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα και έχουμε το ζητούμενο.

KARKAR · #8

Ένα παράδειγμα σε σχήμα :

: εικόνα.png (22.15 KiB) Προβλήθηκε 666 φορές

#9

Αξίζει το σχόλιο ότι το ζητούμενο, δηλαδή ότι συνάρτηση $\displaystyle {\dfrac{\int_{0}^{x}{f(t)}dt}{x}$ είναι (γνήσια) αύξουσα αν η

είναι (γνήσια) αύξουσα, είναι διαισθητικά προφανές. Πράγματι, το παραπάνω ολοκλήρωμα δίνει τον μέσο όρο του εμβαδού. Είναι σαφές ότι αν το "μέσα" στο ολοκλήρωμα αυξάνει, τότε και ο μέσος όρος αυξάνει.

Ίσως είναι πιο εύκολο να δούμε το αντίστοιχο αποτέλεσμα με αθροίσματα αριθμών, μιας και μας είναι πιο οικεία:

Είναι σαφές ότι αν μία ακολουθία (a_n)

είναι αύξουσα, τότε και η ακολουθία $\dfrac {1}{n} (a_1+a_2+...+a_n)$ των μέσων όρων επίσης αυξάνει. Για παράδειγμα αμφιβάλλει κανείς ότι αν σε ένα διαγώνισμα γράψεις μεγαλύτερο βαθμό από τους βαθμούς σε όλα τα προηγούμενα διαγωνίσματα, τότε ο μέσος όρος της βαθμολογίας σου να ανέβη; Νομίζω ότι κανείς δεν αμφιβάλλει.

Άνω όριο ή συντελεστής ;

Άνω όριο ή συντελεστής ;

Re: Άνω όριο ή συντελεστής ;

Re: Άνω όριο ή συντελεστής ;

Re: Άνω όριο ή συντελεστής ;

Re: Άνω όριο ή συντελεστής ;

Re: Άνω όριο ή συντελεστής ;

Re: Άνω όριο ή συντελεστής ;

Re: Άνω όριο ή συντελεστής ;

Re: Άνω όριο ή συντελεστής ;

Μέλη σε σύνδεση