Μερικές λύσεις

KARKAR · #1

Μπορείτε να βρείτε - μερικές έστω - λύσεις της εξίσωσης : x^y-y^x=x+y

;

Αν μπορείτε να πείτε κάτι πέρα από το "τις μαντέψαμε" , θα σας ήμουν υπόχρεος

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 05, 2022 2:16 pm
Μπορείτε να βρείτε - μερικές έστω - λύσεις της εξίσωσης : ;

Αν μπορείτε να πείτε κάτι πέρα από το "τις μαντέψαμε" , θα σας ήμουν υπόχρεος

Γεια σου Θανάση. Ζητάμε μόνο φυσικούς αριθμούς;

#3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 06, 2022 1:14 am

Γεια σου Θανάση. Ζητάμε μόνο φυσικούς αριθμούς;

Θανάση και Δημήτρη, μία λύση στους φυσικούς είναι η $x=2,\, y=5$ . Για φυσικό x>2

το αντίστοιχο

δεν είναι ποτέ φυσικός.

Για παράδειγμα το x=3

έχει μοναδική λύση $y_3\approx 3,65$ . To x=4

έχει μοναδική λύση $y_4\approx 4,07$ και το x=5

έχει μοναδική λύση $y_5\approx 5,005$ .

Τώρα, αποδεικνύεται ότι όπως στα παραδείγματα αυτά, ότι αν x=n

φυσικός τότε το αντίστοιχο (μοναδικό) y_n

είναι λίγο μεγαλύτερο του

και μάλιστα $\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} (n-y_n)= 0}$ (και άρα y_n

όχι φυσικός).

Με άλλα λόγια πρέπει να αναζητήσουμε τις λύσεις (x,y)

έξω από τα ζεύγη φυσικών.

Αξίζει να προσθέσω ότι, τουλάχιστον για x>3

, η εξίσωση πάντα έχει λύση, δηλαδή υπάρχει y>x

που την ικανοπιεί.

KARKAR · #4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 06, 2022 1:14 am
Γεια σου Θανάση. Ζητάμε μόνο φυσικούς αριθμούς ;

Δημήτρη , όχι κατ' ανάγκη φυσικούς , οπωσδήποτε όμως πραγματικούς .

Υπάρχει βέβαια και η λύση x=1 , y=0

αφού :

.

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 06, 2022 2:21 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 06, 2022 1:14 am

Γεια σου Θανάση. Ζητάμε μόνο φυσικούς αριθμούς;
Θανάση και Δημήτρη, μία λύση στους φυσικούς είναι η $x=2,\, y=5$ . Για φυσικό το αντίστοιχο δεν είναι ποτέ φυσικός.

Για παράδειγμα το έχει μοναδική λύση $y_3\approx 3,65$ . To έχει μοναδική λύση $y_4\approx 4,07$ και το έχει μοναδική λύση $y_5\approx 5,005$ .

Τώρα, αποδεικνύεται ότι όπως στα παραδείγματα αυτά, ότι αν φυσικός τότε το αντίστοιχο (μοναδικό) είναι λίγο μεγαλύτερο του και μάλιστα $\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} (n-y_n)= 0}$ (και άρα όχι φυσικός).

Με άλλα λόγια πρέπει να αναζητήσουμε τις λύσεις έξω από τα ζεύγη φυσικών.

Αξίζει να προσθέσω ότι, τουλάχιστον για , η εξίσωση πάντα έχει λύση, δηλαδή υπάρχει που την ικανοπιεί.

Άρα υπάρχουν άπειρες λύσεις στο R οι οποιες φαντάζομαι δεν μπορούν να υπολογιστούν χωρίς την χρήση κάποιου λογισμικού.

#6

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 06, 2022 9:07 pm
Άρα υπάρχουν άπειρες λύσεις στο R οι οποιες φαντάζομαι δεν μπορούν να υπολογιστούν χωρίς την χρήση κάποιου λογισμικού.

Σωστά.

Μερικές λύσεις

Μερικές λύσεις

Re: Μερικές λύσεις

Re: Μερικές λύσεις

Re: Μερικές λύσεις

Re: Μερικές λύσεις

Re: Μερικές λύσεις

Μέλη σε σύνδεση