Τομές σε παραλληλόγραμμο

αρψ2400 · #1

Έστω ABCD ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Μπορείτε να το χωρίσετε σε πέντε ,διαφορετικά ανά δύο ,ισοσκελή τρίγωνα; (Η ένωση των τριγώνων πρέπει να δίνει το ABCD).

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Θεωρούμε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ABCD

τέτοιο ώστε $AB=\alpha > \beta=BC$
(Η εκδοχή $\alpha=\beta$ έχει απαντηθεί εδώ)

Σε πρώτη φάση θα εκτελέσουμε την ακόλουθη κατασκευή:

Στο εσωτερικό του

θεωρούμε

το μοναδικό σημείο για το οποίο AE=AB

Κατόπιν θεωρούμε τα μέσα των τμημάτων BE,AE

οπότε σχηματίζονται πέντε ισοσκελή τρίγωνα
(αριθμημένα ως $\color{magenta}1,2,3,4,5$ στο ακόλουθο σχήμα)

: τομές_σε_ορθογώνιο.png (13.66 KiB) Προβλήθηκε 1288 φορές

Ισχύουν τα ακόλουθα:

$\bullet$ $\triangle_5\ne \triangle_1,\triangle_2$ (το τρίγωνο $\triangle_5$ έχει μεγαλύτερη βάση)
$\bullet$ $\triangle_5\ne \triangle_3,\triangle_4$ (το τρίγωνο $\triangle_5$ έχει μεγαλύτερα σκέλη)

$\bullet$ $\triangle_1\ne \triangle_2$ (γιατί σε διαφορετική περίπτωση $\angle CEB=45^o =\angle EBA =\angle BEA$ οπότε $\angle EAB=90^o$ άτοπο)
$\bullet$ $\triangle_1\ne \triangle_3$ (γιατί σε διαφορετική περίπτωση $\triangle ABE$ ισόπλευρο οπότε αφ' ενός $\angle CEB=60^o$ και αφ' ετέρου $\triangle_3=\triangle_2$ οπότε $\triangle_2=\triangle_1$ και συνεπώς $\angle CEB=45^o$ άτοπο)
$\color{red}\bullet$ $\triangle_1= \triangle_4$ $\Leftrightarrow$ $\triangle ABE$ ισόπλευρο $\Leftrightarrow \dfrac{\beta}{\alpha}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\color{red}\bullet$ $\triangle_2= \triangle_3$ $\Leftrightarrow$ $\triangle ABE$ ισόπλευρο $\Leftrightarrow \dfrac{\beta}{\alpha}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\bullet$ $\triangle_2\ne \triangle_4$ (για τον ίδιο λόγο που $\triangle_1\ne \triangle_3$ )

$\color{red}\bullet$ $\triangle_3= \triangle_4$ $\Leftrightarrow$ $\triangle ADE$ ισοσκελές $\Leftrightarrow \dfrac{\beta}{\alpha}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Σε αυτό το σημείο μπορεί να δοθεί απάντηση στο πρόβλημα.

#1. Αν $\dfrac{\beta}{\alpha}\ne\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ η παραπάνω διαμέριση του ορθογωνίου είναι μια αποδεκτή λύση για το δοθέν πρόβλημα γιατί τα πέντε τρίγωνα της διαμέρισης είναι διαφορετικά ανά δυο.

#2. Αν $\dfrac{\beta}{\alpha}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ένας τρόπος να διαμεριστεί το ορθογώνιο είναι ο εξής:

: τομές_σε_ορθογώνιο_3.png (12.03 KiB) Προβλήθηκε 1288 φορές

#3. Αν $\dfrac{\beta}{\alpha}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ένας τρόπος να διαμεριστεί το ορθογώνιο είναι ο εξής:

: τομές_σε_ορθογώνιο_2.png (22.42 KiB) Προβλήθηκε 1288 φορές

αρψ2400 · #3

Η συζήτηση ''τομές σε τετράγωνο'' προέκυψε ως ειδική περίπτωση της παρούσας άρα θα έπρεπε να αναρτηθεί πρώτη ή καθόλου.Ευτυχώς ο κύριος KARKAR απάντησε πρώτα το ''τομές σε τετράγωνο'' .Ευχαριστώ τον κύριο Κωνσταντόπουλο για την προσεκτική , πλήρη λύση του προβλήματος .Με την ευκαιρία να πω ότι η ΑΙ που θα έπαιρνε μετάλιο JBMO δεν μπορεί να απαντήσει ούτε καν σε κάποια ειδική περίπτωση.Για την ακρίβεια γράφουν ''άλλα ντ' άλλον'' .Η καλύτερη απάντηση που πήρα είναι ότι δεν είναι εφικτός ο διαμερισμός για το τετράγωνο.(Πήρα την απάντηση ,''όχι δεν είναι εφικτός ''από το grok4. Δεν είναι δωρεαν η παράθεση της συλλογιστικής για το συγκεκριμένο μοντέλο γι αυτό και λέω ότι ήταν η καλύτερη.)

Τομές σε παραλληλόγραμμο

Τομές σε παραλληλόγραμμο

Re: Τομές σε παραλληλόγραμμο

Re: Τομές σε παραλληλόγραμμο

Μέλη σε σύνδεση