Το φιδάκι

[αρψ2400]

1. Τοποθετήστε τους 80 αριθμούς 1,2,3,.....,78,79,80, (αν είναι δυνατόν), σε έναν πίνακα 4 σειρών ανά 20 στήλες, έτσι ώστε οι διαδοχικοί αριθμοί να βρίσκονται σε διπλανά τετράγωνα. Το 1 και το 80 που είναι γειτονικά μόνο με 2 και 79 αντίστοιχα, θα πρέπει να είναι γειτονικά μεταξύ τους. Οι αριθμοί 1 και 20 είναι σταθεροί στα κελιά (1,8) και (4,8) αντίστοιχα. Διπλανά λέγονται τα τετράγωνα που έχουν κοινή πλευρά. Αν δεν είναι δυνατόν να δοθεί απόδειξη.

2.Τοποθετήστε τους 80 αριθμούς 1,2,3,.....,78,79,80, (αν είναι δυνατόν), σε έναν πίνακα 4 σειρών ανά 20 στήλες, έτσι ώστε οι διαδοχικοί αριθμοί να βρίσκονται σε διπλανά τετράγωνα. Το 1 και το 80 που είναι γειτονικά μόνο με 2 και 79 αντίστοιχα, θα πρέπει να είναι γειτονικά μεταξύ τους. Οι αριθμοί 1 και 20 είναι σταθεροί στα κελιά (1,10) και (4,10) αντίστοιχα. Διπλανά λέγονται τα τετράγωνα που έχουν κοινή πλευρά. Αν δεν είναι δυνατόν να δοθεί απόδειξη.


Δύο προβλήματα με άπειρες κυριολεκτικά παραλλαγές ,με τροποποίηση των διαστάσεων mxn του πλέγματος και των περιορισμών. Για ηλικίες από 10 έως 110.Το (1,10) είναι συντεταγμένες όπως στο παιχνίδι ναυμαχία (1,10)=(α,10) ,(4,8)=(δ,8) κ.τ.λ.

[Mihalis_Lambrou]

1. Τοποθετήστε τους 80 αριθμούς 1,2,3,.....,78,79,80, (αν είναι δυνατόν), σε έναν πίνακα 4 σειρών ανά 20 στήλες, έτσι ώστε οι διαδοχικοί αριθμοί να βρίσκονται σε διπλανά τετράγωνα. Το 1 και το 80 που είναι γειτονικά μόνο με 2 και 79 αντίστοιχα, θα πρέπει να είναι γειτονικά μεταξύ τους. Οι αριθμοί 1 και 20 είναι σταθεροί στα κελιά (1,8) και (4,8) αντίστοιχα. Διπλανά λέγονται τα τετράγωνα που έχουν κοινή πλευρά. Αν δεν είναι δυνατόν να δοθεί απόδειξη.

Διευθέτηση των έως με τις οδηγίες της εκφώνησης. Αρχίζουμε από το στην θέση που δηλώθηκε, και ακολουθούμε την κόκκινη διαδρομή όπως δείχνει το βελάκι, τοποθετώντας διαδοχικά τους αριθμούς .

[Mihalis_Lambrou]

2.Τοποθετήστε τους 80 αριθμούς 1,2,3,.....,78,79,80, (αν είναι δυνατόν), σε έναν πίνακα 4 σειρών ανά 20 στήλες, έτσι ώστε οι διαδοχικοί αριθμοί να βρίσκονται σε διπλανά τετράγωνα. Το 1 και το 80 που είναι γειτονικά μόνο με 2 και 79 αντίστοιχα, θα πρέπει να είναι γειτονικά μεταξύ τους. Οι αριθμοί 1 και 20 είναι σταθεροί στα κελιά (1,10) και (4,10) αντίστοιχα. Διπλανά λέγονται τα τετράγωνα που έχουν κοινή πλευρά. Αν δεν είναι δυνατόν να δοθεί απόδειξη.

Απάντηση: Δεν υπάρχει τέτοια διευθέτηση.

Έστω ότι υπήρχε τρόπος να τοποθετήσουμε τους αριθμούς όπως ορίζει το πρόβλημα. Σημειώνουμε με κόκκινη γραμμή την διαδρομή που πάει από το έως το ακολουθώντας την φυσική διάταξη των αριθμών. Το σχήμα είναι ενδεικτικό. Παρατηρούμε ότι η κόκκινη διαδρομή, που βέβαια έχει μήκος , δεν μπορεί να φτάσει τα βόρεια γαλάζια τετράγωνα γιατί τότε θα είχε μήκος τουλάχιστον (συγκεκριμένα, τουλάχιστον δέκα για να ανέβει μέχρι πάνω, άλλα δέκα για να κατέβει από εκεί μέχρι το , και τουλάχιστον άλλα δύο πηγαίνοντας από Δυτικά προς τα Ανατολικά). Για τον ίδιο λόγο η κόκκινη διαδρομή δεν μπορεί να φτάσει στα πράσινα τετράγωνα του νότου. 'Αρα στα γαλάζια και στα πράσινα τετράγωνα υπάρχουν αριθμοί μεγαλύτεροι του (οι αριθμοί μέχρι το είναι στην κόκκινη διαδρομή.) Αλλά αυτό είναι άτοπο γιατί μία διαδρομή από ένα γαλάζιο σε ένα πράσινο τετράγωνο πρέπει να προσπελάσει τον κόκκινο φράχτη. Να όμως που ο κόκκινος φράχτης της κλείνει τον δρόμο, αφού χωρίζει το πλέγμα σαν σύνορο από Δυτικά προς Ανατολικά, αφήνοντας τους Βόρειους και τους Νότιους σε χωριστά διαμερίσματα. Το άτοπο ολοκληρώνει την απόδειξη του αδυνάτου.