Πρώτοι Αριθμοί

mick7 · #1

Βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς της μορφής $\displaytype 10^n+n$ όταν $\displaytype 1\leq n\leq 100$

YΓ...Με μια σύντομη (η μη) δικαιολόγηση

#2

mick7 έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 06, 2024 6:11 pm
Βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς της μορφής $\displaytype 10^n+n$ όταν $\displaytype 1\leq n\leq 100$

YΓ...Με μια σύντομη (η μη) δικαιολόγηση

.
O

δεν μπορεί να είναι άρτιος ούτε πολλαπλάσιο του

για προφανείς λόγους. Επειδή το 10^n

είναι ισότιμο με 1mod 3

, σημαίνει ότι αν

ισότιμο του $2\mod 3$ , τότε ο 10^n+n

είναι μη πρώτος ως πολλαπλάσιο του

. Άρα ο

δεν μπορεί να είναι ισότιμος του $2\mod 3$ .

Διώχνοτας όλους τους προαναφερθέντες, τα μόνα υποψήφια

με $\displaytype 1\leq n\leq 100$ είναι τα

$1, \,7, \, 9,\,13, \, 21,\, 27,\, 31, \, 33,\, 37, \, 39,\, 43, \, 49, \, 51,\, 57,\, 61, 63,\, \, 67, 69,\, \, 73, \, 79, \, 81, \, 87,\, 91, 93,\, \, 97, \, 99$

Από εκεί και πέρα μόνο περιστασιακά μπορούμε να αποφανθούμε αν θα κρατήσουμε τον

. Π.χ. για n=1

o

είναι πρώτος (δεκτό). Για n=7

είναι (με λογισμικό) $10^7+7=10000007=941\times 10627$ (απορρίπτεται). Με Λογισμικό απορρίπτονται τα n=13

και

(το αφήνω).

Τα υπόλοιπα ξεφεύγουν λόγω μεγέθους. Π.χ. η ανάλυση σε πρώτους του $10^{43} +43$ είναι, από Λογισμικό, $20076569\times 498093075564853735715499994047787747$ .

Επίσης για n=97

είναι

$10^{97}+97 =$

$\displaystyle{ =167 \times 4146628725479 \times 8992010982030100962599137780622692314055915431722795395459 \times 2399 \times 24804217 \times 227425153 \times 118669}$

Ομολογώ ότι δεν βλέπω τρόπο να εξεταστούν τα μεγάλα

χωρίς χρήση Λογισμικού. Κάνω λάθος;

Αν έχω δίκιο τότε νομίζω ότι τέτοιες ασκήσεις δεν έχουν θέση στο

, ούτε ως Διασκεδαστικά Μαθηματικά. Ανάγονται σε χρήση Λογισμικού και τίποτα άλλο.

Μπορεί να μας διαφωτίσει περί του αντιθέτου ο θεματοθέτης, mick7 ;

mick7 · #3

Καλησπέρα. Ναι έχω μια υπολογιστική λύση αλλά ήλπιζα σε κάτι πιο θεωρητικό.
Οι τιμές του n μέχρι το 1000 για είναι πρώτος o 10^n+n

είναι

.

Υπολογισμός μέσω Wolfram Mathematica

#4

mick7 έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 11, 2024 12:15 am
Ναι έχω μια υπολογιστική λύση αλλά ήλπιζα σε κάτι πιο θεωρητικό.

Είχα δίκιο, λοιπόν, όταν παραπάνω έγραφα ότι

Ομολογώ ότι δεν βλέπω τρόπο να εξεταστούν τα μεγάλα n χωρίς χρήση Λογισμικού. Κάνω λάθος;

Αν έχω δίκιο τότε νομίζω ότι τέτοιες ασκήσεις δεν έχουν θέση στο , ούτε ως Διασκεδαστικά Μαθηματικά. Ανάγονται σε χρήση Λογισμικού και τίποτα άλλο.

Και κάτι ακόμα: Όταν αναρτούμε προβλήματα στο φόρουμ πρέπει να ξέρουμε την λύση τους (εκτός αν επισημάνουμε ρητά το αντίθετο). Εδώ με την φράση

mick7 έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 06, 2024 6:11 pm
YΓ...Με μια σύντομη (η μη) δικαιολόγηση

υπονοείται ότι υπάρχει αιτιολόγιση των βημάτων (η οποία ζητείται ρητά). Αντιθέτως, στο τέλος αποδεικνύεται ότι δεν υπάρχει τέτοια αιτιολόγιση και όποιος την έψαχνε εργαζόταν μάταια.

Πρώτοι Αριθμοί

Πρώτοι Αριθμοί

Re: Πρώτοι Αριθμοί

Re: Πρώτοι Αριθμοί

Re: Πρώτοι Αριθμοί

Μέλη σε σύνδεση