Αποκρουστική μεγιστοποίηση

[KARKAR]

Αποκρουστική μεγιστοποίηση.png (9.6 KiB) Προβλήθηκε 657 φορές

Η πλευρά του ορθογωνίου είναι σταθερή , ενώ η μεταβάλλεται , έχοντας μέσο το .

Στην προέκταση της θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : . Δείξτε ότι η γωνία ,

λαμβάνει μέγιστη τιμή . Σημείωση : Η άσκηση είναι του τύπου : "Όποιος δεν έχει βάσανα ... κ.λ.π. "

[Demetres]

Είναι διασκεδαστικά, θέλουμε να δείξουμε ότι η γωνιά λαμβάνει μέγιστη τιμή και όχι να την βρούμε, οπότε τα πράγματα είναι απλά. Πρώτα η λύση συνοπτικά και μετά σε hide με περισσότερες λεπτομέρειες:

Κρατάμε τα σημεία σταθερά. Η γωνία είναι συνεχής συνάρτηση της απόστασης . Το όριο της γωνίας όταν η απόσταση πάει είτε στο άπειρο είτε στο είναι . Άρα η γωνία λαμβάνει μέγιστη τιμή.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Κρατώ τα σημεία σταθερά. To είναι μεταβλητό σημείο επί της ευθείας που περνάει από το και είναι κάθετη στο . Έστω η απόστασή του από το . Η γωνία είναι συνεχής συνάρτηση του με το να ανήκει στον κύκλο κέντρου και ακτίνας . Άρα οι συντεταγμένες του είναι συνεχείς συναρτήσεις του . Το ίδιο ισχύει και για τις συντεταγμένες των . Συνεπώς και η γωνία είναι συνεχής συνάρτηση του . Το λαμβάνει τιμές στο και είναι προφανές γεωμετρικά ότι .

Έστω όταν . Από τα πιο πάνω όρια υπάρχουν με ώστε για καθώς και για . Η γωνία ως συνεχής συνάρτηση παίρνει μέγιστη τιμή στο κλειστό διάστημα η οποία είναι μεγαλύτερη ή ίση της . Στα διαστήματα και παίρνει τιμές μικρότερες της . Άρα στο λαμβάνει όντως μέγιστη τιμή.