Βάσανα με αρκετή έκταση

KARKAR · #1

: Βάσανα με αρκετή έκταση.png (10.98 KiB) Προβλήθηκε 713 φορές

Στις πλευρές AB=DC=a

, ορθογωνίου ABCD

, θεωρούμε σημεία T , P

αντίστοιχα ,

τέτοια ώστε : $AT=\dfrac{3}{4}a , DP=\lambda a$ . Τα τμήματα AP , DT

, τέμνονται στο σημείο

.

Υπολογίστε την τιμή του $\lambda$ , ώστε τα οικόπεδα : SAD , TBCP

, να έχουν την ίδια έκταση .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 15, 2021 2:44 pm
Βάσανα με αρκετή έκταση.pngΣτις πλευρές , ορθογωνίου , θεωρούμε σημεία αντίστοιχα ,

τέτοια ώστε : $AT=\dfrac{3}{4}a , DP=\lambda a$ . Τα τμήματα , τέμνονται στο σημείο .

Υπολογίστε την τιμή του $\lambda$ , ώστε τα οικόπεδα : , να έχουν την ίδια έκταση .

Δεν ξέρω τι σχέση έχει η άσκηση με τα Διασκεδαστικά Μαθηματικά, αλλά ας είναι.

Φέρνουμε από σημείο

της

την παράλληλη

προς την βάση. Από τα όμοια τρίγωνα που σχηματίζονται έχουμε

α) $\dfrac {PT}{PA}= \dfrac {TS}{3a/4}$ και β) $\dfrac {TA}{PA}= \dfrac {TS}{\lambda a}$

Προσθέτοντας κατά μέλη έπεται $\displaystyle{ 1 = \dfrac {TS}{3a/4} + \dfrac {TS}{\lambda a}}$ , άρα $TS= \dfrac {3a\lambda }{4\lambda + 3}$

Τα δύο οικόπεδα έχουν λοιπόν εμβαδά

$(SAD) = \dfrac {1}{2} AD \cdot \dfrac {3a\lambda }{4\lambda + 3}$ και $(TBCP)= \dfrac {1}{2} BC \cdot \left ((1-\lambda)a+\frac {a}{4} \right )$ .

Εξισώνοντας τα δύο έχουμε $\displaystyle{ \dfrac {3a\lambda }{4\lambda + 3} =(1-\lambda)a+ \frac {a}{4}$ . Λύνουμε τώρα ως προς $\lambda$ . Θα βρούμε $\lambda = \dfrac {1}{2} (\sqrt {61}-1)$ (δεν έκανα επανέλεγχο ως δευτερεύον θέμα).

KARKAR · #3

: Βάσανα με αρκετή έκταση.png (13.59 KiB) Προβλήθηκε 675 φορές

Η έξοχη λύση του Μιχάλη με σχήμα ( με δύο διευκρινίσεις : Το

, έγινε

και το $\dfrac{1}{2}$ του αποτελέσματος έγινε $\dfrac{1}{8}$ )

Βασάνων συνέχεια : Προφανώς ( ; ) την ίδια έκταση έχει και το οικόπεδο PST

. Μπορεί άραγε να αξιοποιηθεί ;

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 15, 2021 2:44 pm
Βάσανα με αρκετή έκταση.pngΣτις πλευρές , ορθογωνίου , θεωρούμε σημεία αντίστοιχα ,

τέτοια ώστε : $AT=\dfrac{3}{4}a , DP=\lambda a$ . Τα τμήματα , τέμνονται στο σημείο .

Υπολογίστε την τιμή του $\lambda$ , ώστε τα οικόπεδα : , να έχουν την ίδια έκταση .

Για ευκολία πληκτρολόγησης θέτω : $\boxed{a = 4k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\lambda = x}$ .

Το εμβαδόν

του τραπεζίου PCBT

είναι , $E = \dfrac{{kb}}{2}\left( {5 - 4x} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\,,\,\,b = BC$ .

Τα τρίγωνα $SPD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SAT$ είναι όμοια και για τα εμβαδά τους ${E_2}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{E_1}$ ισχύει:

$\dfrac{{{E_2}}}{{{E_1}}} = \dfrac{{16{x^2}}}{9}\,\,\left( 2 \right)$ . Επίσης $\left( {ADS} \right)\, = \left( {TPS} \right) = E\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{E_1} \cdot {E_2} = {E^2}\,\,\left( 3 \right)$ .
.

: Βάσανα με αρκετή έκταση_κατασκευή ok.png (10.88 KiB) Προβλήθηκε 647 φορές

.
Από τις $\left( 3 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ προκύπτουν : $\left\{ \begin{gathered} {E_2} = \frac{{4x}}{3}E \hfill \\ {E_1} = \frac{3}{{4x}}E \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Αλλά ${E_1} + {E_2} + 3E = \left( {ABCD} \right)$ , άρα:

$\left( {\dfrac{{4x}}{3} + \dfrac{3}{{4x}} + 3} \right)E = 4kb\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \left( {5 - 4x} \right)\left( {\dfrac{{4x}}{3} + \dfrac{3}{{4x}} + 3} \right) = 8$ , με δεκτή ρίζα : $\boxed{\lambda = x = \frac{{ - 1 + \sqrt {61} }}{8}}$

Βάσανα με αρκετή έκταση

Βάσανα με αρκετή έκταση

Re: Βάσανα με αρκετή έκταση

Re: Βάσανα με αρκετή έκταση

Re: Βάσανα με αρκετή έκταση

Μέλη σε σύνδεση