Μικρότερο ή μεγαλύτερο ;

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα. Δεν φαίνεται ίσως η σύνδεση, όμως το κίνητρο για την δημιουργία του παρόντος
μου έδωσε η απάντηση #5 ΕΔΩ του κ. Μιχάλη Λάμπρου τον οποίο και ευχαριστώ!

: Μικρότερο ή μεγαλύτερο ;.PNG (12.37 KiB) Προβλήθηκε 1431 φορές

Ο μικρός Αρίσταρχος σχεδίασε αρχικά σ' ένα μεγάλο χαρτόνι το τρίγωνο OAB

με μήκη πλευρών OA=OB=40

εκατοστά
και AB=147

χιλιοστά.

Στη συνέχεια βρήκε τα συμμετρικά του διαδοχικά: Το $A_{1}$ ως προς την

, το $A_{2}$ ως προς την $OA_{1}$ , το $A_{3}$ ως προς την $OA_{2}$

και τέλος το $A_{4}$ ως προς τον φορέα της $OA_{3}$ . Τα τρίγωνα OAB

και $OAA_{4}$ του φάνηκαν ίσα. Λόγω συμμετρίας σκέφτηκε.

Γρήγορα όμως κατάλαβε πως το $AA_{4}$ δεν είναι συμμετρικό του

.Το μέτρησε και βρήκε (με την ακρίβεια..οφθαλμού)
ότι είναι $AA_{4}=147$ χιλιοστά δηλ. όσο και το

..

..

Τίθεται λοιπόν το ερώτημα σε εμάς: Πώς θα υπολογίσουμε αν το $AA_{4}$ είναι μικρότερο ή μεγαλύτερο από το ;

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 16, 2020 10:01 am
Καλημέρα. Δεν φαίνεται ίσως η σύνδεση, όμως το κίνητρο για την δημιουργία του παρόντος
μου έδωσε η απάντηση #5 ΕΔΩ του κ. Μιχάλη Λάμπρου τον οποίο και ευχαριστώ!Μικρότερο ή μεγαλύτερο ;.PNG
Ο μικρός Αρίσταρχος σχεδίασε αρχικά σ' ένα μεγάλο χαρτόνι το τρίγωνο με μήκη πλευρών εκατοστά
και χιλιοστά.

Στη συνέχεια βρήκε τα συμμετρικά του διαδοχικά: Το $A_{1}$ ως προς την , το $A_{2}$ ως προς την $OA_{1}$ , το $A_{3}$ ως προς την $OA_{2}$

και τέλος το $A_{4}$ ως προς τον φορέα της $OA_{3}$ . Τα τρίγωνα και $OAA_{4}$ του φάνηκαν ίσα. Λόγω συμμετρίας σκέφτηκε.

Γρήγορα όμως κατάλαβε πως το $AA_{4}$ δεν είναι συμμετρικό του .Το μέτρησε και βρήκε (με την ακρίβεια..οφθαλμού)
ότι είναι $AA_{4}=147$ χιλιοστά δηλ. όσο και το .. ..

Τίθεται λοιπόν το ερώτημα σε εμάς: Πώς θα υπολογίσουμε αν το $AA_{4}$ είναι μικρότερο ή μεγαλύτερο από το ;

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Γιώργο, να 'σαι καλά.

Επιτρέπεται λύση με κομπιουτεράκι; Αν ναι, έχουμε: Έστω $\angle AOB = \theta$ . Οπότε $\displaystyle{\angle AOA_1=2\theta, \, \angle AOA_2=4\theta, \, \angle AOA_3=8\theta, \, \angle AOA_4=16\theta}$ , άρα η γωνία της κορυφής του τριγώνου AOA_4

είναι $360-16\theta$ .

Από το $14,7=AB=2OA\sin \frac {\theta}{2}= 80\sin \frac {\theta}{2}$ το κομπιουτεράκι βγάζει $\theta \approx 21,1765268^o$ . Άρα $360 -16\theta \approx 21,17557121$ που είναι μια σταλιά μικρότερο του $\theta$ . Άρα, AA_4 < AB

. Σε αριθμούς, πάντα κατά το κομπιουτεράκι,

$AA_4=2OA\sin \frac {360-16\theta}{2}\approx 146,9934$ χιλιοστά, δηλαδή πολύ κοντά στο 147

χιλιοστά.

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλημέρα. Ευχαριστώ κ. Μιχάλη για την κάλυψη του θέματος.
Ασφαλώς και χρησιμοποίησα το κομπιουτεράκι για την δημιουργία του.

Θεωρώ ότι το ως άνω θέμα είναι ισοδύναμο με το εξής πρόβλημα της ανάλυσης:

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $f(x)=x+\sqrt{34-2x}+2\sqrt{17+3x-\sqrt{34-2x}-2\sqrt{34+2x}}$ όπου 1<x<5

.

Να δειχθεί ότι ισχύει $20.000f(\sqrt{17}) > 318.391$

Λέτε να πει κάποιος ότι αποδεικνύεται χωρίς την...μηχανική υποστήριξη ! ;

Φιλικά, Γιώργος.

Γιώργος Μήτσιος · #4

Χαιρετώ και πάλι.Ας δώσω -έστω και με καθυστέρηση- μια εξήγηση
για το πώς συνδέεται η συνάρτηση

που έχει τον ... ασυμμάζευτο ως άνω τύπο με το αρχικό πρόβλημα.

Είδαμε στη δημοσίευση του κ. Μιχάλη πως για την $\angle AOB=\theta$ ισχύει $2\pi -16\theta < \theta \Leftrightarrow \theta > 2\pi /17\Leftrightarrow cos\theta < cos 2\pi /17.. (1)$ .

Με τον νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο AOB

παίρνουμε $cos\theta =\dfrac{298.391}{320.000}$ .

Για το $cos 2\pi /17$ βρήκα (*) με αναζήτηση για κανονικό 17-γωνο ένα εντυπωσιακό όσο και μακροσκελή τύπο

που με χρήση της συνάρτησης

γράφεται $cos 2\pi /17= \dfrac{f(\sqrt{17})-1}{16}$ .

Έτσι από την (1)

παίρνουμε $\dfrac{298.391}{320.000} < \dfrac{f(\sqrt{17})-1}{16} \Leftrightarrow 20.000f(\sqrt{17})> 318.391$ .

(*) Πηγή: ΒΙΚΙΠΑΙΔΕΙΑ και όχι μόνο. Φιλικά, Γιώργος.

Μικρότερο ή μεγαλύτερο ;

Μικρότερο ή μεγαλύτερο ;

Re: Μικρότερο ή μεγαλύτερο ;

Re: Μικρότερο ή μεγαλύτερο ;

Re: Μικρότερο ή μεγαλύτερο ;

Μέλη σε σύνδεση