Ορθογώνιο

mick7 · #1

Βρείτε τα α και b ώστε...

#2

Καλημέρα σε όλους.

Προφανώς εννοείται: $\displaystyle {\overline {bb} ^2} + {\overline {aa} ^2} = \overline {bbaa}$

Με την πρώτη δοκιμή είναι $\displaystyle {99^2} + {11^2} = 9911$

Με λίγες δοκιμές, βλέπουμε ότι δεν έχει άλλη λύση.

Είναι

$(11^2=121) , (22^2=484) , (33^2=1089) , (44^2=1936) , (55^2=3025) , (66^2=4356) , \\\ (77^2=5929) , (88^2=7744) ,( 99^2=9801)$

Πράγματι, τα 33^2, 44^2, 55^2, 66^2, 77^2, 88^2

απορρίπτονται αμέσως, αφού κανένα άθροισμα με οποιοδήποτε aa^2

δεν δίνει πρώτα δύο ψηφία 33, 44, 55, 66, 77

ή

.

edit: Ασφαλώς έχω υπολογιστικό λάθος παραπάνω, λόγω βιασύνης. Μού το επεσήμαναν διακριτικά ο mich7 και ο Σταύρος Παπαδόπουλος, τους οποίους και ευχαριστώ. Είναι $\displaystyle {99^2} + {11^2} = 9922$ , άρα ούτε αυτό το ζεύγος είναι λύση. Την απάντηση τη δίνει ο Γιώργος παρακάτω.

#3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Θέλουμε

$(10a+a)^{2}+(10b+b)^{2}=10^{3}b+10^{2}b+10a+a$

μετά από τις πράξεις καταλήγουμε στην

$11(a^{2}+b^{2})=10^{2}b+a=99b+b+a$

Από αυτήν βγάζουμε το συμπέρασμα ότι a+b=11

(1)

οπότε γίνεται

$a^{2}+b^{2}=9b+1$ (2)

Από (1) και (2) είναι

άρτιος και

περιττός.

Μετά δοκιμές.

Μοναδική λύση αυτή που έγραψε ο Γιώργος παραπάνω.

#5

Μπορούμε να το προχωρήσουμε λίγο ακόμα πριν τις δοκιμές του Σταύρου.

Από την a+b=11

έχουμε

οπότε

. Αν γράψουμε b=2k

, έχουμε

.
Από εδώ ο

βαίνει ότι διαιρείται με το 4, άρα γράφοντας k=4m

φτάνουμε στην 2am+9m=15

, οπότε

,
οπότε

, και άρα

.

Ορθογώνιο

Ορθογώνιο

Re: Ορθογώνιο

Re: Ορθογώνιο

Re: Ορθογώνιο

Re: Ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση