Αποδείξτε την ορθότητα

KARKAR · #1

: Αποδείξτε την ορθότητα.png (8.9 KiB) Προβλήθηκε 883 φορές

Το - μήκους

- ύψος

του τριγώνου $\displaystyle ABC$ , χωρίζει την βάση

σε τμήματα BD=2

και

. Φέρουμε και τα ύψη

και

. Δείξτε ποικιλοτρόπως , ότι $\widehat{EDZ}=90^0$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 19, 2019 12:42 pm
Αποδείξτε την ορθότητα.pngΤο - μήκους - ύψος του τριγώνου $\displaystyle ABC$ , χωρίζει την βάση σε τμήματα

και . Φέρουμε και τα ύψη και . Δείξτε ποικιλοτρόπως , ότι $\widehat{EDZ}=90^0$ .

: Ορθότητα.png (11.45 KiB) Προβλήθηκε 867 φορές

$\displaystyle \tan A = \tan (\varphi + \omega ) = \dfrac{{\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2}}}{{1 - \dfrac{1}{6}}} = 1 \Leftrightarrow$ $\boxed{\widehat A=45^\circ}$ και $\displaystyle AZ = ZC,AE = EB \Rightarrow A\widehat BE = A\widehat CZ = 45^\circ$

Από τα εγγράψιμα τώρα HZBD, HECD

προκύπτει ότι $\displaystyle Z\widehat DH = H\widehat DE = 45^\circ \Rightarrow$ $\boxed{E\widehat DZ=90^\circ}$

nickchalkida · #3

Από την ομοιότητα των τριγώνων ADB

καἰ

, συμπεραίνουμε:

$\displaystyle{ {ZC \over ZB} = {AD \over BD} = 3 \rightarrow ZC = 3 \cdot ZB }$

Από πυθαγόρειο τώρα στο CZB

έχουμε:
$\displaystyle{ ZB^2 + (3ZB)^2 = 25 \rightarrow ZB = {\sqrt{10} \over 2} }$

αλλά $AB^2=2^2+6^2 \rightarrow AB = \sqrt{40}$

έτσι βρίσκουμε
$\displaystyle{ {ZA \over ZB} = { \sqrt{40} - {\sqrt{10} \over 2} \over {\sqrt{10} \over 2}} = 3 = {AD \over BD} }$

Δηλαδή

είναι διχοτόμος της $\angle ADB$ . Παρόμοια δεικνύουμε και ότι

είναι διχοτόμος της ADC

.
Άρα

,

τέμνονται κάθετα ως διχοτόμοι παραπληρωματικών γωνιών.

#4

Αλλιώς... Με Π. Θ βρίσκω $AB=2\sqrt{10}.$

: Ορθότητα.II.png (13.19 KiB) Προβλήθηκε 851 φορές

$\displaystyle BZ \cdot BA = BD \cdot BC \Leftrightarrow BZ \cdot 2\sqrt {10} = 10 \Leftrightarrow BZ = \frac{{\sqrt {10} }}{2} \Leftrightarrow \frac{{AZ}}{{ZB}} = 3 = \frac{{AD}}{{BD}}.$

Άρα η

διχοτομεί την ορθή γωνία $A\widehat DB.$ Ομοίως η

διχοτομεί την $A\widehat DC$ και το ζητούμενο έπεται.

Βλέπω παρόμοια λύση με τον nickchalkida. Το αφήνω.

Εναλλακτικά, αφού η

διχοτομεί την ορθή γωνία $A\widehat DB$ και τα ύψη τριγώνου διχοτομούν τις γωνίες του ορθικού, $Z\widehat DE=90^\circ.$

#5

: Ορθότητα.III.png (10.22 KiB) Προβλήθηκε 834 φορές

Στην πρώτη μου ανάρτηση βρήκα $\displaystyle \widehat A = 45^\circ \Leftrightarrow Z\widehat HE = 135^\circ .$ Αλλά

είναι το έγκεντρο του ZDE,

οπότε $Z\widehat DE=90^\circ.$

#6

Επειδή $\widehat \theta = \widehat \omega$ ( κάθετες πλευρές) θα είναι :

$\vartriangle ADB \approx \vartriangle CDH \Rightarrow$ $\dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{CD}}{{DH}} \Rightarrow \dfrac{6}{2} = \dfrac{3}{{DH}} \Rightarrow \boxed{DH = 1}$ .

: Ορθότητα.png (15.64 KiB) Προβλήθηκε 810 φορές

Από Θ. Μενελάου στο $\vartriangle ADC$ με διατέμνουσα $\overline {BHE}$ έχω:

$\dfrac{{AH}}{{HD}} \cdot \dfrac{{DB}}{{BC}} \cdot \dfrac{{CE}}{{EA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{5}{1} \cdot \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{{CE}}{{EA}} = 1 \Rightarrow \boxed{\frac{{EC}}{{EA}} = \frac{1}{2} = \frac{{DC}}{{DA}}}$

που μας εξασφαλίζει ότι η

είναι διχοτόμος της ορθής γωνίας $\widehat {ADC}$ .

Ομοίως ( ή με την ιδιότητα του ορθικού $\vartriangle DEZ$ ) έχω ότι η

είναι διχοτόμος της ορθής γωνίας $\widehat {ADB}$ .

Άρα $\widehat {EDZ} = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 19, 2019 12:42 pm
Αποδείξτε την ορθότητα.pngΤο - μήκους - ύψος του τριγώνου $\displaystyle ABC$ , χωρίζει την βάση σε τμήματα

και . Φέρουμε και τα ύψη και . Δείξτε ποικιλοτρόπως , ότι $\widehat{EDZ}=90^0$ .

$\displaystyle AD \cdot DK = BD \cdot DC \Rightarrow 6DK = 6 \Rightarrow DK = HD = 1 \Rightarrow AH = AS = BC = 5$

Έτσι, $\displaystyle ASCB$ ισοσκελές τραπέζιo $\displaystyle \Rightarrow AE = EB \Rightarrow \angle ZBH = {45^0} \Rightarrow \angle ZDH = HDE = {45^0} \Rightarrow \boxed{\angle ZDE = {{90}^0}}$

: ορθότητα.png (13.23 KiB) Προβλήθηκε 795 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #8

Καλημέρα σε όλους!

: Ορθότητα...PNG (8.99 KiB) Προβλήθηκε 769 φορές

Φέρω $ZK,EN \perp BC$ . Τα τρίγωνα BEN,NEC

είναι όμοια με το DAC

άρα

ενώ

οπότε $NC=1..DN=2=EN \Rightarrow \theta =45^{0}$ .

Όμοια βρίσκουμε $KD=3/2=ZK \Rightarrow \omega =45^{0}$ . Έπεται $\widehat{EDZ}=90^{0}$ . Φιλικά , Γιώργος.

Αποδείξτε την ορθότητα

Αποδείξτε την ορθότητα

Re: Αποδείξτε την ορθότητα

Re: Αποδείξτε την ορθότητα

Re: Αποδείξτε την ορθότητα

Re: Αποδείξτε την ορθότητα

Re: Αποδείξτε την ορθότητα

Re: Αποδείξτε την ορθότητα

Re: Αποδείξτε την ορθότητα

Μέλη σε σύνδεση