Αναζήτηση του παμμέγιστου

KARKAR · #1

Μερικοί πραγματικοί θετικοί αριθμοί έχουν άθροισμα

. Να βρεθεί το μέγιστο γινόμενό τους , αν :

1) Είναι

ακέραιοι

2) Είναι

ακέραιοι

3) Είναι

ακέραιοι

4) Είναι οσοιδήποτε ακέραιοι

5) Είναι οσοιδήποτε πραγματικοί .

Ενδιαφέρον θα είχε , ασφαλώς , η δικαιολόγηση της κάθε απάντησης . Για το τελευταίο να σημειώσω ότι $20=8{\cdot}2.5$ ,

οπότε $2,5^{8}\simeq 1526$ , αλλά αυτό δεν είναι το μέγιστο ! (Απόκης υπέδειξε)

Γιώργος Απόκης · #2

Aς απαντήσω το 5) που μου άρεσε!

Από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ, αφού οι αριθμοί έχουν σταθερό άθροισμα, το μέγιστο γινόμενο επιτυγχάνεται όταν είναι ίσοι.

Αν

είναι το πλήθος τους, τότε έχουμε τους αριθμούς $\displaystyle{x_1=x_2=\dots=x_n=\frac{20}{n}}$ οι οποίοι έχουν

γινόμενο $\displaystyle{P=\left(\frac{20}{n}\right)^n}$ . Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{P(x)=\left(\frac{20}{x}\right)^x,~x>0}$ η οποία έχει παράγωγο

$\displaystyle{P{'}(x)=\left(e^{xln\left(\frac{20}{x}\right)}\right){'}=e^{xln\left(\frac{20}{x}\right)}\right)\cdot \left(xln\left(\frac{20}{x}\right)\right){'}=\left(\frac{20}{x}\right)^x(ln20-lnx-1)}$

Εύκολα προκύπτει ότι η

παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο $\displaystyle{x_0=\frac{20}{e}\simeq 7.36 }$ επομένως (αφού

φυσικός)

θα έχουμε n=7

με γινόμενο $\displaystyle{P=\left(\frac{20}{7}\right)^7\simeq 1544}$ ή n=8

με γινόμενο $\displaystyle{P \simeq 1526}$ (όπως υπολόγισε ο θεματοθέτης).

Άρα, n=7

και $\displaystyle{P_{max}\simeq 1544}$ .

Γιώργος Απόκης · #3

Επαναφορά για τα 1) ως 4)

KARKAR · #4

1) Με χρήση της $\displaystyle\sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}\Leftrightarrow ab\leq 100$ ή στοιχειωδέστερα της ταυτότητας : $\displaystyle ab=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}$ ,

διαπιστώνω ότι το μέγιστο γινόμενο για

προσθετέους , επιτυγχάνεται για a=b=10

και ισούται με 100

( μόλις !)

2) Το ιδανικό για

προσθετέους θα ήταν το $\displaystyle\left( \frac{20}{3}\right)^3\simeq 296.3$ αλλά με τον περιορισμό της ακεραιότητας ,

συμβιβαζόμαστε με το πλησιέστερο 6*7^2=294

.

3) Πάλι το ιδανικό για

προσθετέους θα ήταν το $\displaystyle\left( \frac{20}{6}\right)^6\simeq 1371.7$ , του οποίου η καλύτερη προσέγγιση "είναι : 3^4*4^2=1296

4) Επειδή

θα πάρουμε το πολύ

δυάρια . Για αλλους ακεραίους δεν συζητούμε , αφού σύμφωνα με την

απόδειξη του Γιώργου παραπάνω οι προσθετέοι οφείλουν να είναι πλησίον του

( διπλά ή τριάρια ) .

Τελικά η μέγιστη τιμή του γινομένου ακεραίων προσθετέων είναι : 2*3^6=1458

Αναζήτηση του παμμέγιστου

Αναζήτηση του παμμέγιστου

Re: Αναζήτηση του παμμέγιστου

Re: Αναζήτηση του παμμέγιστου

Re: Αναζήτηση του παμμέγιστου

Μέλη σε σύνδεση