Μαθηματικά και αριθμητική

[ludon64]

Αναρωτιέμαι αν τα μαθηματικά ανάγονται επιστημονικά στη στοιχειώδη αριθμητική, δεδομένου ότι αποτελούν ουσιαστικά μία επιστήμη η οποία επιτρέπει τη διενέργεια πολύπλοκων υπολογισμών. Άλλωστε, υποθέτω ότι τα σχολικά μαθηματικά ταλέντα συνήθως εμφανίζουν ιδιαίτερη εφευρετικότητα στον συγκεκριμένο κλάδο, ενώ η άλγεβρα μπορεί να θεωρηθεί ως γνωστική του επέκταση.

[stranger]

Αναρωτιέμαι αν τα μαθηματικά ανάγονται επιστημονικά στη στοιχειώδη αριθμητική, δεδομένου ότι αποτελούν ουσιαστικά μία επιστήμη η οποία επιτρέπει τη διενέργεια πολύπλοκων υπολογισμών. Άλλωστε, υποθέτω ότι τα σχολικά μαθηματικά ταλέντα συνήθως εμφανίζουν ιδιαίτερη εφευρετικότητα στον συγκεκριμένο κλάδο, ενώ η άλγεβρα μπορεί να θεωρηθεί ως γνωστική επέκτασή της.

Αυτή ήταν η επιθυμία του D.Hilbert. Στην γνωστή ομιλία του στις αρχες του 1900 στο Παρίσι είπε "Ο αριθμός είναι η βάση των μαθηματικών και γιαυτό πρέπει να στηριχτούν τα μαθηματικά στην έννοια του αριθμού με τα κατάλληλα αξιώματα". Αυτό προσπάθησε να κάνει και ο Peano με τα γνωστά αξιώματα Peano για την αριθμοθεωρία.
Θα έλεγα ότι η κατάσταση που επικράτησε είναι κάπως διαφορετική γιατί πλέον όλα στηρίζονται σε αξιώματα για τα σύνολα.
Όμως όπως είπε ο B.Russel. Τι είναι ο αριθμός 3 αν δεν είναι το σύνολο όλων των συνόλων με 3 στοιχεία;
Ρητορικό προφανώς ερώτημα. Τέτοιες σκέψεις οδήγησαν λίγο αργότερα στο γνωστό παράδοξό του.