Παράγωγος συνάρτησης - Απορία

Αγησίλαος · #1

Καλησπέρα στην Μαθηματική κοινότητα.
Ελπίζω να δημοσιεύω στην κατάλληλη ενότητα..
Η απορία μου είναι η εξής: Ορίζουμε ως διαφορικό συνάρτησης την μεταβλητή dy=f'(x)dx

. Οι μεταβλητές dy, dx

έχουν την ιδιότητα ο λόγος τους ( dy/dx

) να ισούται με την παράγωγο

της συνάρτησης

.
Επομένως, η παράγωγος

ισούται με το πηλίκο dy/dx

.
Αυτό που δεν καταλαβαίνω είναι γιατί σε πολλές βιβλιογραφίες αναφέρεται ότι ο συμβολισμός dy/dx

που αναφέρεται στην παράγωγο συνάρτηση, δεν είναι λόγος. Αν συμφωνούμε στο ότι η παράγωγος

ισούται με τον λόγο των διαφορικών dy/dx

, τότε πώς μπορούμε να ισχυριζόμαστε ταυτόχρονα ότι η ποσότητα f'(x)=dy/dx

δεν είναι λόγος;

MarKo · #2

Δες εδώ viewtopic.php?f=61&t=33092

Γ.-Σ. Σμυρλής · #3

Πρός Θεοῦ, ἡ παράγωγος $\frac{dy}{dx}$ ΔΕΝ ΑΠΟΤΕΛΕΙ ΠΗΛΙΚΟ, ἀλλά ὅριο πηλίκου, παρά τό γεγονός ὅτι ἐνίοτε συμπεριφέρεται ὡς πηλίκο (π.χ. στόν κανόνα της ἁλυσίδος καί γενικότερα σε ἀλλαγές μεταβλητῶν). Ἀλλά, ἀκόμη καί ὅταν συμπεριφέται ὡς πηλίκο θά πρέπει νά εἴμαστε ἐξαιρετικά προσεκτικοί, διότι αὐτό συμβαίνει ὑπό προϋποθέσεις. Θά πρέπει νά ἔχομε ἀπόλυτη βεβαιότητα ὅτι ὄντως ἐπιτρέπεται νά θεωρήσομε τήν παράγωγο ὡς πηλίκο, πρίν τό πράξομε!

Ἰδιαιτέρως, τό διαφορικό δέν ἀποτελεῖ ἀριθμό ἤ συνάρτηση ἀλλά ΣΥΜΒΟΛΟ ὑποβοηθητικό στόν συμβολισμό τοῦ ὁλοκληρώματος, καί ὀφείλεται ὡς γνωστόν στόν Leibniz.

Βεβαίως, γιά τούς μή Μαθηματικούς (Μηχανικούς, Οἰκονομολόγους κ.λ.π.), ὅλα ὅσα ἔγραψα ἀποτελοῦν ψιλά γράμματα.

ΥΓ Προσπάθησα νά γράψω κάποια παραδείγματα πού δείχνουν πόσο σέ πόσο ἐπισφαλῆ συμπεράσματα εἶναι δυνατόν νά καταλήξομε ἄν θεωρήσομε τήν παράγωγο ὡς πηλίκο ἀλλά τά προβλήματα πού ἀντιμετωπίζει τό site μέ τό LaTeX δέν μοῦ τό ἐπέτρεψαν.

Αγησίλαος · #4

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:Πρός Θεοῦ, ἡ παράγωγος $\frac{dy}{dx}$ ΔΕΝ ΑΠΟΤΕΛΕΙ ΠΗΛΙΚΟ, ἀλλά ὅριο πηλίκου, παρά τό γεγονός ὅτι ἐνίοτε συμπεριφέρεται ὡς πηλίκο (π.χ. στόν κανόνα της ἁλυσίδος καί γενικότερα σε ἀλλαγές μεταβλητῶν). Ἀλλά, ἀκόμη καί ὅταν συμπεριφέται ὡς πηλίκο θά πρέπει νά εἴμαστε ἐξαιρετικά προσεκτικοί, διότι αὐτό συμβαίνει ὑπό προϋποθέσεις. Θά πρέπει νά ἔχομε ἀπόλυτη βεβαιότητα ὅτι ὄντως ἐπιτρέπεται νά θεωρήσομε τήν παράγωγο ὡς πηλίκο, πρίν τό πράξομε!

Ἰδιαιτέρως, τό διαφορικό δέν ἀποτελεῖ ἀριθμό ἤ συνάρτηση ἀλλά ΣΥΜΒΟΛΟ ὑποβοηθητικό στόν συμβολισμό τοῦ ὁλοκληρώματος, καί ὀφείλεται ὡς γνωστόν στόν Leibniz.

Βεβαίως, γιά τούς μή Μαθηματικούς (Μηχανικούς, Οἰκονομολόγους κ.λ.π.), ὅλα ὅσα ἔγραψα ἀποτελοῦν ψιλά γράμματα.

ΥΓ Προσπάθησα νά γράψω κάποια παραδείγματα πού δείχνουν πόσο σέ πόσο ἐπισφαλῆ συμπεράσματα εἶναι δυνατόν νά καταλήξομε ἄν θεωρήσομε τήν παράγωγο ὡς πηλίκο ἀλλά τά προβλήματα πού ἀντιμετωπίζει τό site μέ τό LaTeX δέν μοῦ τό ἐπέτρεψαν.

Αν και πρωτοετής φοιτητής σε Πολυτεχνική Σχολή (ΤΗΜΜΥ), και γνωρίζοντας καλά ότι τα Μαθηματικά για έναν μηχανικό δεν απαιτούν αυστηρή θεμελίωση αλλά απλά το μέσο για να φέρει εις πέρας τις εργασίες του, προσωπικά ενδιαφέρομαι για την αυστηρή θεμελίωση των Μαθηματικών εννοιών και φροντίζω να την αναζητώ ακόμη κι όταν αυτή είναι εκτός των μαθημάτων μου, διότι αγαπώ τα Μαθηματικά.
Αγαπητέ κ. Σμυρλή, θα το εκτιμούσα ιδιαίτερα αν μπορούσατε να παραθέσετε τα παραδείγματα που επικαλείστε.
Όσον αφορά τον σύνδεσμο (viewtopic.php?f=61&t=33092), αυτό που κράτησα είναι το εξής: "Προσοχή !! Η παράγωγος δεν μπορεί να οριστεί σαν πηλίκο διαφορικών γιατί θα υπάρξουν προβλήματα μηδενισμού του
παρανομαστή. Η παραδοχή στοιχειωδών (απειροστών) ποσοτήτων δεν θεμελιώνεται αυστηρά"
Ποιά είναι τα προβλήματα μηδενισμού του παρονομαστή που προκύπτουν; Εάν το

αποτελεί μια απειροστή μεταβολή του x, τότε αυτή δε θα είναι ποτέ ίση με το μηδέν. Επομένως, αφού ορίζουμε dy=f'(x)dx

και τα

είναι μεταβλητές, η

ισούται με το πηλίκο dy/dx

. Ποιό είναι το λάθος στον παραπάνω συλλογισμό;

Γ.-Σ. Σμυρλής · #5

Ὑπάρχουν πλεῖστα παραδείγματα. Θά περιοριστῶ σέ κάποιο πού ἀφορᾶ ἰδιαιτέρως καί τούς Μηχανικούς.

Ὡς γνωστόν, οἱ ἐξισώσεις χωριζομένων μεταβλητῶν $\dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y)$ ἐπιλύονται (σέ συγγράμματα ἀπευθυνόμενα πρός Μηχανικούς) ὡς ἑξῆς:

$\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=f(x)g(y) \quad\Longrightarrow\quad f(x)\,dx \,=\, \frac{dy}{g(y)} \quad\Longrightarrow\quad \int f(x)\,dx \,=\, \int\frac{dy}{g(y)}. }$

Ἄς προσπαθήσομε νά ἐπιλύσομε τό ἀκόλουθο πρόβλημα ἀρχικῶν τιμῶν

$\displaystyle{ \frac{dy}{dx} \,=\, \cot y, \quad y(0)\,=\, \frac{\pi}{2}. }$

μέ αὐτόν τόν τρόπο. Ἔχομε

$\displaystyle{ \tan y\,dy \,=\, dx \quad\Longleftrightarrow\quad -\Big(\tfrac{1}{2}\log(\cos^2 y)\Big)'dy\,=\, (x)' dx\quad\Longrightarrow\quad -\tfrac{1}{2}\log(\cos^2 y) \,=\, x+c. }$

Καθότι $(\tfrac{1}{2}\log(\cos^2 y))'=-\tan y$ . Κατόπιν, γιά τόν προσδιορισμό τοῦ

θέτομε

καί $y=\pi/2$ , ὁπότε κάτι δέν πάει καλά, ἀφοῦ $\cos(\pi/2)=0$ καί δέν ὁρίζεται ὁ λογάριθμος. Βεβαίως το ἐν λόγω πρόβλημα ἀρχικῶν τιμῶν ἔχει λύση καί δή μοναδική καί καθολικῶς ὁρισμένη.

Ποιά εἶναι αὐτή καί πῶς βρίσκεται;

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Ἡ μέθοδος αὐτή εἰσήχθη ἀπό τόν Leibniz περί τό 1690. Στήν πραγματικότητα δέν ἀποτελεῖ μαθηματική μέθοδο ἀλλά συμβολικό λογισμό πού περιέχει κινδύνους λάθους. Ὑπό κατάλληλες προϋποθέσεις καθίσταται ἀπολύτως αύστηρή ἡ διαδικασία αὐτή.

#6

Θεωρούμε όλα τα σημεία (x,y,z)

του χώρου που ικανοποιούν την σχέση xy + 1 + z = 0

. Μπορούμε να γράψουμε το

συναρτήσει του

ως $\displaystyle{x = -\frac{z+1}{y}}$ το οποίο δίνει $\displaystyle{ \frac{dx}{dy} = \frac{z+1}{y^2}.}$ Ομοίως βρίσκουμε $\displaystyle{ \frac{dy}{dz} = -\frac{1}{x}}$ και $\displaystyle{ \frac{dz}{dx} = -y.}$ Πολλαπλασιάζοντας παίρνουμε

$\displaystyle{ \frac{dx}{dy}\frac{dy}{dz}\frac{dz}{dx} = \frac{z+1}{yx} = -1}$ .

Αν η παράγωγος συμπεριφερόταν ως πηλίκο θα αναμέναμε το γινόμενο να ισούται με

και όχι με

.

Αγησίλαος · #7

Αγαπητοί κύριοι,
σας ευχαριστώ πολύ για τον χρόνο σας και τα παραδείγματα που παραθέσατε.
Ειδικά στο τελευταίο παράδειγμα που παρέθεσε ο κ. Demetres, γίνεται σαφές πως η θεώρηση της παραγώγου ως πηλίκο μπορεί να οδηγήσει σε λάθη πρακτικά, που δεν αφορούν μόνο τους μαθηματικούς και την θεωρητική θεμελίωση των Μαθηματικών, αλλά και τους μηχανικούς. Το παράδειγμα του κ. Demetres θα μπορούσε εύκολα να αποτελεί άσκηση για κάποιον μηχανικό, και είμαι βέβαιος πως πολλοί θα έβρισκαν λανθασμένο αποτέλεσμα. Όλοι έχουν ακούσει ότι το dy/dx

δεν είναι πηλίκο, όμως στην μέχρι τώρα πορεία μου κανείς δεν είχε εξηγήσει πότε συμπεριφέρεται ως πηλίκο και υπό ποιές προϋποθέσεις, αντιθέτως όλοι το χρησιμοποιούσαν ως πηλίκο χωρίς να εξηγήσουν γιατί και πώς.
Εν τέλει, θα μου επιτρέψετε να πω ότι το μυστήριο για μένα δεν έχει διελευκανθεί πλήρως. Κάνω λοιπόν, για τελευταία φορά, την παρακάτω υπόθεση:
Γνωρίζω πως το διαφορικό συνάρτησης ορίζεται ως dy=f'(x)dx

. Αμέσως από αυτήν την σχέση, και χωρίς να έχω διαπιστώσει ακόμη πως θα οδηγηθώ σε λάθος, διαιρώ τα δύο μέλη με το

, το οποίο θεωρώ πως είναι διάφορο του μηδενός διότι αποτελεί μία απειροστή αύξηση του

, και καταλήγω στην σχέση f'(x)=dy/dx

. Αμέσως, λέγω ότι η παράγωγος ισούται με το πηλίκο των διαφορικών dy/dx

.

Σύμφωνα όμως με τα λεγόμενα των μαθηματικών, έχω καταλήξει σε λανθασμένο συμπέρασμα, αφού η παράγωγος ΔΕΝ είναι πηλίκο!
Επομένως, υπάρχουν δύο ενδεχόμενα:
1) Έχω κάνει κάποιο λάθος στον συλλογισμό μου και κατέληξα σε λανθασμένο συμπέρασμα
2) Δεν έχω κάνει λάθος στον συλλογισμό μου, αλλά δεχόμενος το συμπέρασμα μου ως αληθές, παρουσιάζονται πρακτικά λάθη στην χρήση της παραγώγου ως πηλίκου (για κάποιους λόγους). Γι'αυτό, γυρνώ πίσω και τροποποιώ αυθαίρετα το συμπέρασμα μου, λέγοντας ότι η παράγωγος δεν ορίζεται ως πηλίκο, μόνο και μόνο για να ξεπεράσω τα λάθη που παρουσιάζονταν στην πράξη.

Τι από τα δύο συμβαίνει και γιατί;
Ευχαριστώ πολύ για τον χρόνο σας και ζητώ συγγνώμη αν κούρασα
Να είστε πάντα καλά

Γ.-Σ. Σμυρλής · #8

Τό παράδειγμα τοῦ Δημήτρη εἶναι πολύ ἐνδιαφέρον, καί θέτει τό ἑξῆς προφανές ἐρώτημα:

Ποῦ βρίσκεται τό λάθος; (Καί τό λάθος δέν βρίσκεται ἀπαραιτήτως στό ὅτι κάποιο διαφορικό μηδενίζεται.)

Αγησίλαος · #9

Με μια πρόχειρη ματιά, και χωρίς να πιάσω μολύβι και χαρτί, σκέφτομαι το εξής: Επειδή υπάρχει σχέση αλληλοεξάρτησης μεταξύ των μεταβλητών x,y,z, ενδέχεται κάποιο διαφορικό να μηδενίζεται, με αποτέλεσμα να μην ορίζεται η παράσταση $\frac{dx}{dy} \frac{dy}{dz} \frac{dz}{dx}$ όταν θεωρούμε την παράγωγο ως πηλίκο. Aν όμως θεωρήσουμε ότι η παράγωγος δεν είναι πηλίκο, τότε η παράσταση ορίζεται και βρίσκουμε αποτέλεσμα. Διορθώστε με αν κάνω λάθος..

Παράγωγος συνάρτησης - Απορία

Παράγωγος συνάρτησης - Απορία

Re: Παράγωγος συνάρτησης - Απορία

Re: Παράγωγος συνάρτησης - Απορία

Re: Παράγωγος συνάρτησης - Απορία

Re: Παράγωγος συνάρτησης - Απορία

Re: Παράγωγος συνάρτησης - Απορία

Re: Παράγωγος συνάρτησης - Απορία

Re: Παράγωγος συνάρτησης - Απορία

Re: Παράγωγος συνάρτησης - Απορία

Μέλη σε σύνδεση