Το τρίγωνο του διαβόλου

KARKAR · #1

: Το τρίγωνο του διαβόλου.png (17.95 KiB) Προβλήθηκε 457 φορές

Τα μήκη των πλευρών

και

, του ορθογωνίου τριγώνου ABC

, είναι ακέραια .

Προεκτείνοντας την

κατά τμήμα BS=BC

, διαπιστώσαμε ότι : $CS=\dfrac{3}{2}CB$ .

Εξηγήστε γιατί το μήκος του τμήματος

, είναι και αυτό ακέραιο .

Henri van Aubel · #2

Why not;;

Είναι $\displaystyle \frac{AC}{CS}=sin \angle ASC=sin \frac{B}{2}\overset{\upsilon \pi o\vartheta. }=\frac{2AC}{3CB}=\frac{2sin B}{3}\Leftrightarrow cos \frac{B}{2}=\frac{3}{4}$

Επομένως, είναι $\displaystyle \frac{CS}{BC}=2cos \frac{B}{2}=\frac{3}{2}.$

Αρκεί λοιπόν το μήκος του

να είναι

Όμως $\displaystyle \frac{AB}{BC}=cos B=2cos ^{2}\frac{B}{2}-1=\frac{1}{8}$ και αφού έχουν και τα δύο αυτά τμήματα ακέραιο μήκος, έπεται ότι το μήκος του

είναι

κλπ.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 27, 2023 12:20 pm
Το τρίγωνο του διαβόλου.pngΤα μήκη των πλευρών και , του ορθογωνίου τριγώνου , είναι ακέραια .

Προεκτείνοντας την κατά τμήμα , διαπιστώσαμε ότι : $CS=\dfrac{3}{2}CB$ .

Εξηγήστε γιατί το μήκος του τμήματος , είναι και αυτό ακέραιο .

Ονομάζουμε $\displaystyle{BC=BS=x}$ και $\displaystyle{AB=y}$ . Τότε από την υπόθεση έχουμε $\displaystyle{CS=\frac{3x}{2}}$

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθ. τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ έχουμε:

$\displaystyle{AC^2 =x^2 -y^2}$

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο $\displaystyle{ACS}$ παίρνουμε:

$\displaystyle{CS^2 = AS^2 +AC^2}$ . Άρα:

$\displaystyle{\frac{9x^2}{4}=(x+y)^2 +x^2 -y^2}$ .

Άρα

$\displaystyle{\frac{9x^2}{4}= 2x^2 +2xy}$

Άρα:

$\displaystyle{9x^2 =8x^2 +8xy}$ .

Άρα:

$\displaystyle{x^2 -8xy =0}$

Άρα:

$\displaystyle{x(x-8y)=0}$ και αφού είναι $\displaystyle{x\neq0}$ , θα πρέπει $\displaystyle{x-8y =0}$ , δηλαδή $\displaystyle{x=8y}$ . Άρα $\displaystyle{CS=\frac{3.8y}{2}=12y}$

Αφού λοιπόν από την υπόθεση ο $\displaystyle{y}$ είναι ακέραιος, άρα και ο $\displaystyle{12y}$ θα είναι ακέραιος, δηλαδή το $\displaystyle{CS}$ είναι ακέραιος.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 27, 2023 12:20 pm
Το τρίγωνο του διαβόλου.pngΤα μήκη των πλευρών και , του ορθογωνίου τριγώνου , είναι ακέραια .

Προεκτείνοντας την κατά τμήμα , διαπιστώσαμε ότι : $CS=\dfrac{3}{2}CB$ .

Εξηγήστε γιατί το μήκος του τμήματος , είναι και αυτό ακέραιο .

Με τον συνήθη συμβολισμό BC=a, AB=c,

έχουμε:

$\displaystyle C{S^2} - B{C^2} = A{S^2} - A{B^2} \Leftrightarrow \frac{{9{a^2}}}{4} - {a^2} = {(a + c)^2} - {c^2} \Leftrightarrow a = 8c$

Άρα, CS=12c

που είναι ακέραιος.

Τώρα βλέπω ότι είναι ίδια λύση με του Δημήτρη. Χρόνια Πολλά Δημήτρη!
Είδα ότι είχε γράψει πολλά και φαντάστηκα ότι ήταν διαφορετική.

Το τρίγωνο του διαβόλου

Το τρίγωνο του διαβόλου

Re: Το τρίγωνο του διαβόλου

Re: Το τρίγωνο του διαβόλου

Re: Το τρίγωνο του διαβόλου

Μέλη σε σύνδεση