Εξίσωση

#1

Αν οι αριθμοί $\displaystyle{n , x , y}$ είναι μη αρνητικοί ακέραιοι και ισχύει:

$\displaystyle{6.(x^{n+1} + x^n y^n +xy^2 +y^{n+2}) +17(x^n + y^2 )= 2023}$ ,

να βρεθεί η μέγιστη τιμή του αθροίσματος $\displaystyle{x+y+n}$

Harry · #2

$6(x^{n+1}+x^{n}y^{n}+xy^2+y^{n+2})+17(x^n+y^2)=2023\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow x^n(6x+6y^n+17)+y^2(6x+6y^n+17)=2023\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow (x^n+y^2)(6x+6y^n+17)=2023$

$2023 =17^{2}7$ , άρα το (x^n+y^2,6x+6y^n+17)

είναι ίσο με (17, 119), (119, 17), (289, 7)

ή

Η δεύτερη απορρίπτεται, γιατί εάν ίσχυε θα ήταν , που δεν θα μπορούσε να ισχύει λόγω του

Η τρίτη απορρίπτεται, γιατί θα έπρεπε , που δεν ισχύει στους μη αρνητικούς ακέραιους

Η τέταρτη απορρίπτεται, γιατί θα έπρεπε , που δεν ισχύει στους μη αρνητικούς ακέραιους

Οπότε ισχύει η (x^n+y^2,6x+6y^n+17) = (17, 119)

$(x^n+y^2,6x+6y^n+17) = (17, 119)\Rightarrow x+y^n=17$

Οπότε, έχουμε $x+y^n=17\,(1),\; x^n+y^2=17\,(2)$

$(2)\Rightarrow y^2\leq 17\Rightarrow y^2\leq 16\Rightarrow y\leq 4$

Οπότε διακρίνουμε 5 περιπτώσεις :

Εάν , τότε

Εάν , τότε

Εάν , βγαίνει με δοκιμές διαφόρων τιμών του n ότι δεν υπάρχει λύση

Εάν , βγαίνει επίσης με δοκιμές διαφόρων τιμών του n ότι δεν υπάρχει λύση

Εάν , τότε

Αφού οι δυνατές τιμές του (x, y, n)

είναι

ή

, η δυνατές τιμές του x+y+n είναι

ή

, άρα η μέγιστη τιμή του x+y+n

είναι 18.

#3

Harry έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 19, 2022 6:46 pm

Αφού οι δυνατές τιμές του είναι ή , η δυνατές τιμές του x+y+n είναι ή , άρα η μέγιστη τιμή του είναι 18.

Επειδή και το $\displaystyle{n}$ δίνεται μη αρνητικός ακέραιος, έχουμε ακόμα μια δυνατή περίπτωση κατά την λύση του συστήματος:
$\displaystyle{x^n +y^2 = 17}$

$\displaystyle{6x+6y^n +17=119}$ ,

την $\displaystyle{(x,y,n)=(16,4,0)}$ , οπότε $\displaystyle{x+y+n=20}$ ,
που είναι η μέγιστη ζητούμενη τιμή.

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση