Τιμή παράστασης

Tolaso J Kos · #1

Αν $\left ( x + \alpha \right ) \left ( x + \beta \right ) \left ( x + \gamma \right ) = x^3 - 10 x^2 + 45x -15$ να βρεθεί η τιμή της παράστασης $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ .

Κυριάκος Τσουρέκας · #2

Έστω,

άρα

Αν

τότε τα πολυώνυμα P(x), Q(x)

είναι ίσα και έχουν ίσους βαθμούς, άρα πρέπει να έχουν ίσους συντελεστές.

Επομένως, a+b+c=-10

και

Όμως,

Τελικά,

#3

Kαλημέρα σε όλους. Ενδιαφέρουσα, από διδακτικής απόψεως η ανάρτηση του Αποστόλη.

Η αναμενόμενη απάντηση από καλούς μαθητές Γυμνασίου, που γνωρίζουν τη θεωρία ισότητας πολυωνύμων, είναι η απάντηση του Κυριάκου παραπάνω.

Πράγματι:

Έστω ότι ισχύει για κάθε πραγματικό

$\displaystyle \left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right) = {x^3} - 10{x^2} + 45x - 15$

$\displaystyle \Leftrightarrow {x^3} + \left( {a + b + c} \right){x^2} + \left( {ab + bc + ac} \right)x + abc = {x^3} - 10{x^2} + 45x - 15$ $\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + b + c = - 10\;\;\left( 1 \right)\\ ab + bc + ac = 45\;\;\left( 2 \right)\\ abc = - 15\;\;\left( 3 \right) \end{array} \right.$

Από την (1), έχουμε $\displaystyle a + b + c = - 10 \Rightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} = 100 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right) = 100$

οπότε, λόγω της (2), $\displaystyle {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2 \cdot 45 = 100 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 10$

Όμως, ας αναζητήσουμε αν υπάρχουν πραγματικοί a, b, c

που να ικανοποιούν την αρχική:

1η απόδειξη:
Από την (3), προκύπτει ότι ένας ή τρεις είναι αρνητικοί. Τρεις αποκλείεται από την (2), άρα ο ένας είναι αρνητικός. Έστω ο

.

Τότε, από την (1), $\displaystyle b + c = - a - 10 > 0 \Leftrightarrow a < - 10$

Τότε, όμως, $\displaystyle {a^2} > 100$ , οπότε και $\displaystyle {a^2} + {b^2} + {c^2} > 100$ , άτοπο. Ομοίως για b<0

ή

.

2η απόδειξη:

Θα πρέπει τα -a, -b, -c

να είναι ρίζες της εξίσωσης ${x^3} - 10{x^2} + 45x - 15=0$ , που δεν γίνεται, εφόσον (εύκολα, Λυκειακά όμως), δείχνουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα κι έχει μια μόνο ρίζα στο (0, 1)

.

Άρα η υπόθεση είναι ψευδής.

Κυριάκος Τσουρέκας · #4

Καλησπέρα κ. Ρίζο.
Το γεγονός ότι δεν υπάρχουν τέτοιοι πραγματικοί, το είχα διαπιστώσει όταν προσπάθησα να τους βρω, αλλά από τον φάκελο και μόνο καταλαβαίνει κανείς ότι το ζητούμενο της άσκησης είναι η ισότητα πολυωνύμων.

Σημείωση: Στην εκφώνηση δεν λέει πουθενά ότι τα α, β, γ είναι πραγματικοί αριθμοί!
Μπορούμε κάλλιστα να λύσουμε το σύστημα στους μιγαδικούς!

Τιμή παράστασης

Τιμή παράστασης

Re: Τιμή παράστασης

Re: Τιμή παράστασης

Re: Τιμή παράστασης

Μέλη σε σύνδεση