Τέσσερις εξισώσεις με τέσσερις αγνώστους

#1

Για τους αριθμούς x,y,z,w

ισχύουν οι παρακάτω ισότητες:
$\begin{cases}x+y+z+w=10\\x^2+y^2+z^2+w^2=30\\x^3+y^3+z^3+w^3=100\\xyzw=24\end{cases}$
A. Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων:
1) xy+xz+xw+yz+yw+zw

2)

3)

4)

5)

6)

7)

B. Να βρείτε τους αριθμούς x,y,z,w.

fmak65 · #2

Αρχίζοντας από την πρώτη.
$x+y+z+w=10\Leftrightarrow (x+y+z+w) ^{2}=10^{2} \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}+2xy+2xz+2xw+2yz+2yw+2zw=100\Leftrightarrow 30+2xy+2xz+2xw+2yz+2yw+2zw=100\Leftrightarrow 2(xy+xz+xw+yz+yw+zw)=100-30\Leftrightarrow xy+xz+xw+yz+yw+zw=35$
Για την δεύτερη
$(x+y+z+w)*(x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})=10*30\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3}+x^{2}y+x^{2}z+x^{2}w+y^{2}x+y^{2}z+y^{2}w+z^{2}x+z^{2}y+z^{2}w+w^{2}x+w^{2}y+w^{2}z=300\Leftrightarrow 100+x^{2}y+x^{2}z+x^{2}w+y^{2}x+y^{2}z+y^{2}w+z^{2}x+z^{2}y+z^{2}w+w^{2}x+w^{2}y+w^{2}z=300 \Leftrightarrow x^{2}y+x^{2}z+x^{2}w+y^{2}x+y^{2}z+y^{2}w+z^{2}x+z^{2}y+z^{2}w+w^{2}x+w^{2}y+w^{2}z=200$

miliotis ektoras · #3

Βλέπουμε ότι όλες οι μεταβλητές ειναι διάφορες του μηδενός
Επίσης παρατηρώντας τις πρώτες 3 σχέσεις βλέπουμε οτι $x\neq y\neq z\neq w$
Εφόσον $x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}=30$ , $-4\leq x,y,z,w\leq 4$

Αλλά το άθροισμα των 3 μέγιστων τιμών ειναι 9 άρα δεν υπάρχει αρνητικός αριθμός
Προκύπτει $0< x,y,z,w\leq 4$

'Aρα για x,y,z,w οι τιμές είναι 1,2,3,4

#4

Ομολογώ ότι δεν καταλαβαίνω τον συλλογισμό στο βήμα

miliotis ektoras έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 12, 2023 12:45 am
Επίσης παρατηρώντας τις πρώτες 3 σχέσεις βλέπουμε οτι $x\neq y\neq z\neq w$

ούτε στο

miliotis ektoras έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 12, 2023 12:45 am
Εφόσον $x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}=30$ , $-4\leq x,y,z,w\leq 4$

ούτε στο

miliotis ektoras έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 12, 2023 12:45 am
Αλλά το άθροισμα των 3 μέγιστων τιμών ειναι 9 άρα δεν υπάρχει αρνητικός αριθμός
Προκύπτει $0< x,y,z,w\leq 4$

ούτε πώς βγαίνει το "Άρα" που γράφεις

miliotis ektoras έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 12, 2023 12:45 am
'Aρα για x,y,z,w οι τιμές είναι 1,2,3,4

Μπορείς σε παρακαλώ να μας εξηγήσεις;

Τέσσερις εξισώσεις με τέσσερις αγνώστους

Τέσσερις εξισώσεις με τέσσερις αγνώστους

Re: Τέσσερις εξισώσεις με τέσσερις αγνώστους

Re: Τέσσερις εξισώσεις με τέσσερις αγνώστους

Re: Τέσσερις εξισώσεις με τέσσερις αγνώστους

Μέλη σε σύνδεση