ΡΗΤΟΣ

[kimjonarfib]

Γεια σας.

Έστω η εξίσωση . Γιατί για να έχει ρητές λύσεις πρέπει η να είναι τέλειο τετράγωνο;

[Τροβαδούρος]

Όχι
δες π.χ. την

[kimjonarfib]

Ωραία συμφωνώ.Όμως στις λύσεις της ΕΜΕ(Ευκλείδης περσινός πρόβλημα 4 Β Λυκείου) αναφέρει το παραπάνω.

[Mihalis_Lambrou]

Έστω η εξίσωση . Γιατί για να έχει ρητές λύσεις πρέπει η να είναι τέλειο τετράγωνο;

Ωραία συμφωνώ.Όμως στις λύσεις της ΕΜΕ(Ευκλείδης περσινός πρόβλημα 4 Β Λυκείου) αναφέρει το παραπάνω.

Όχι. Προσοχή εδώ. Στη εν λόγω άσκηση τα είναι ακέραιοι, οπότε η λύση που δίνει η ΕΜΕ είναι σωστή (και το παραπάνω σχόλιο δεν αφορά αυτή την περίπτωση).

Για απόδειξη, με είναι ακέραιους, αν τότε . Άρα το (από γνωστή ιδιότητα των αρρήτων) πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο ρητού.

[kimjonarfib]

Μήπως θα μπορούσατε να με παραπέμψετε σε κάποια ύλη για ιδιότητες ρητών - αρρήτων;

ευχαριστώ

[Mihalis_Lambrou]

Μήπως θα μπορούσατε να με παραπέμψετε σε κάποια ύλη για ιδιότητες ρητών - αρρήτων;

Αν κοιτάξεις την θεωρία όπου δείχνουν ότι ο είναι άρρητος, θα δεις το εξής γενικότερο θεώρημα:

Αν ακέραιος με ρητός τότε (προφανώς είναι τετράγωνο ρητού (*) αλλά ακόμα καλύτερα) είναι τετράγωνο ακεραίου (δηλαδή είναι τέλειο τετράγωνο).

Το θεώρημα και η απόδειξη ήταν γνωστά στους αρχαίους Πυθαγορείους, και υπάρχει στα Στοιχεία του Ευκλείδη. Επίσης θα την βρεις σε όλα τα βιβλία Θεωρία Αριθμών. Το μόνο που χρειάζεσαι για την απόδειξη είναι η μοναδικότητα της ανάλυσης των φυσικών αριθμών σε γινόμενο πρώτων.

Στην άσκηση στον Διαγωνισμό Ευκλείδη 2016 που παραπέμπεις, μπορείς να πάρεις ως τον .

(*) Απλά υψώνεις στο τετράγωνο την .