Εξίσωση

#1

Αν ο $\displaystyle{x}$ είναι πραγματικός αριθμός και ο $\displaystyle{p}$ πρώτος, να βρεθούν όλα τα ζεύγη $\displaystyle{(x,p)}$ ώστε να αληθεύει η ισότητα:

$\displaystyle{2x^2 -3x +p-4 =0}$

(Ας την αφήσουμε για μαθητές, για δύο ημέρες. Θα τους φανεί αρχικά δύσκολη, αλλά θα διαπιστώσουν ότι είναι πολύ απλή,

αρκεί να θυμούνται από την Α Γυμνασίου, το πότε ένας αριθμός λέγεται πρώτος).

Nikitas K. · #2

Ισχύει ότι:

$\displaystyle {2x^2-3x+p-4 = 0} ~~ \color{blue} (0)$
και
$\displaystyle {2x^2-3x = 2x^2 - 3x + p - 4 + 4 - p \overset{{\color{blue}(0)}}= 4-p~~\color{blue} (1)}$
και
$\displaystyle {\left(4x-3\right)^2 = 16x^2-24x+9 = 8 \left(2x^2-3x\right)+9 \overset{{\color{blue}(1)}}= 8\left(4-p\right)+9 = 41-8p}~~\color{blue} (2)$
και
$\displaystyle \left(4x-3\right)^2 \geq 0 \overset{{\color{blue} (2)}}\Leftrightarrow 41-8p \geq 0\Leftrightarrow p\leq 5\frac{1}{8} \overset{p\in\mathbb P}\Leftrightarrow p\in\left\{2,3,5\right\}$

Η σύζευξη ισοδυναμεί με:
$\displaystyle { \left[\left(4x-3\right)^2 , p\right]\in\left\{ (25,2),(17,3),(1,5) \right\} \Leftrightarrow \fbox{ ( x, p )\in\left\{\left(-\dfrac{1}{2},2\right),\left(2,2\right), \left(\dfrac{3-\sqrt{17}}{4},3\right),\left(\dfrac{3+\sqrt{17}}{4},3\right),\left(\dfrac{1}{2},5\right),\left(1,5\right)\right\} } }$

#3

Nikitas K. έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 11, 2025 7:23 am
$\displaystyle 2x^2-3x+p-4=0\wedge \left(0\leq (4x-3)^2 = 41-8p\equiv p\leq 5\frac{1}{8} \overset{ \displaystyle{p\in\mathbb P} } \equiv p\in \left\{ 2,3,5 \right\}\right)$

$\displaystyle \equiv 2x^2-3x-2=0\wedge p=2\vee 2x^2-3x-1=0 \wedge p=3\vee 2x^2-3x+1=0 \wedge p=5$

$\displaystyle {\displaystyle \equiv x\in\left\{-\dfrac{1}{2},2\right\} \wedge p=2 \vee x\in\left\{\dfrac{3-\sqrt{17}}{4},\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}\right\} \wedge p=3 \vee x\in\left\{\dfrac{1}{2},1\right\}\wedge p=5}$

$\displaystyle \equiv (x,p)\in\left\{\left(-\dfrac{1}{2},2\right),\left(2,2\right), \left(\dfrac{3-\sqrt{17}}{4},3\right),\left(\dfrac{3+\sqrt{17}}{4},3\right),\left(\dfrac{1}{2},5\right),\left(1,5\right)\right\}$

Ωραία Νικήτα.

Ένας ακόμα τρόπος που είναι γνωστός στα παιδιά της Γ Γυμνασίου, είναι να πάρουν την διακρίνουσα και εύκολα επίσης να διαπιστώσουν ότι
πρέπει $\displaystyle{p\in\{2,3,5\}}$

Dimessi · #4

Νικήτα καλησπέρα. Έχω δει τις δημοσιεύσεις σου εδώ. Γενικά έχεις δώσει καλές λύσεις αλλά έχεις μια τάση να τα κάνεις να φαίνονται περισπούδαστα, ενώ στην πραγματικότητα η ιδέα της λύσης δεν είναι ιδιαίτερα δυσκολη.
Εδώ έχεις γράψει τόσα σύμβολα για να πεις ότι από μη αρνητική διακινούσα φρασσουμε το $p\leqslant 5$
που είναι πρώτος και λύνουμε χωριστά την κάθε δευτεροβάθμια.
Στην ουσία μετά το φράξιμο τετριμμένο ποιείται η άσκηση και τα υπόλοιπα είναι απλή χαμαλοδουλεια..
Φιλικά πάντα.

#5

Nikitas K. έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 11, 2025 7:23 am
$\displaystyle 2x^2-3x+p-4=0{\color {red} \wedge }\left(0\leq (4x-3)^2 = 41-8p {\color {red} \equiv } p\leq 5\frac{1}{8} \overset{ \displaystyle{p\in\mathbb P} } \equiv p\in \left\{ 2,3,5 \right\}\right)$

$\displaystyle {\color {red} \equiv (}2x^2-3x-2=0\wedge p=2{\color {red} )}\vee {\color {red} (}2x^2-3x-1=0 \wedge p=3{\color {red} )}\vee {\color {red} (}2x^2-3x+1=0 \wedge p=5{\color {red} )}$

Με την σειρά μου και εγώ θα σου συνιστούσα να χρησιμοποιείς τα καθιερωμένα σύμβολα. Σημείωσα στο παραπάνω κείμενο τα εσφαλμένα σύμβολα καθώς εκείνα που λείπουν. Ένας έμπειρος Μαθηματικός δεν έχει δυσκολία να καταλάβει τι εννοείς, αλλά μας διαβάζουν και μαθητές: Η συγκεκριμένη άσκηση απευθύνεται σε παιδιά Γ' Γυμνασίου.

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση