Ανισότητα

Tolaso J Kos · #1

Σε ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm{AB} \Gamma$ με $\hat{\mathrm{A}} = 90^\circ$ είναι $\mathrm{AB} = \gamma$ και $\mathrm{A} \Gamma = \beta$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\left ( 1 + \tan \hat{\mathrm{B}} \right ) \left ( 1 + \tan \hat{\Gamma} \right ) \geq 4}$

Henri van Aubel · #2

$\displaystyle \tan B=\frac{\beta }{\gamma },\tan \Gamma =\frac{\gamma }{\beta }$

Οπότε η αποδεικτέα σχέση γράφεται ως:

$\displaystyle \left ( 1+\frac{\beta }{\gamma } \right )\left ( 1+\frac{\gamma }{\beta } \right )=\frac{\left ( \beta +\gamma \right )^{2}}{\beta \gamma }\geq 4$

η οποία ανάγεται στην ισχύουσα $\beta ^{2}+\gamma ^{2}\geq 2\beta \gamma$ για θετικούς πραγματικούς.

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 08, 2023 9:28 pm
Σε ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm{AB} \Gamma$ με $\hat{\mathrm{A}} = 90^\circ$ είναι $\mathrm{AB} = \gamma$ και $\mathrm{A} \Gamma = \beta$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\left ( 1 + \tan \hat{\mathrm{B}} \right ) \left ( 1 + \tan \hat{\Gamma} \right ) \geq 4}$

Aν $t= \tan B$ τότε $\tan C = \tan (90-B) =\dfrac {1}{t}$ . Άρα το αριστερό μέλος ισούται με

$(1+t)\left (1+ \dfrac {1}{t} \right )= 2+ t + \dfrac {1}{t}\ge 2+ 2=4$

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση