Ρητός ή άρρητος

M.S.Vovos · #1

Να εξετάσετε αν ο αριθμός $\displaystyle{\sqrt[5]{\sqrt[3]{2}+\sqrt[2]{3}}}$ είναι ρητός ή άρρητος.

Φιλικά,
Μάριος

#2

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 31, 2017 1:57 pm
Να εξετάσετε αν ο αριθμός $\displaystyle{\sqrt[5]{\sqrt[3]{2}+\sqrt[2]{3}}}$ είναι ρητός ή άρρητος.

Αν $\displaystyle{\sqrt[5]{\sqrt[3]{2}+\sqrt[2]{3}}}=p \in \mathbb Q$ τότε υψώνοντας στην πέμπτη δύναμη έχουμε $\displaystyle{ \sqrt[3]{2}=q-\sqrt[2]{3}}}$ (για κάποιο q). Στον κύβο

$\displaystyle{ 2=q^3+9q-(3q^2+3)\sqrt {3}}}$ από όπου το άτοπο $\displaystyle{ \sqrt 3 = \frac { q^3+9q-2}{3q^2+3}\in \mathbb Q}$ .

Τελικά ο δοθείς αριθμός είναι άρρητος.

Edit. Διόρθωσα μικρή αβλεψία που μου επεσήμανε ο Σταύρος, τον οποίο ευχαριστώ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 31, 2017 1:57 pm
Να εξετάσετε αν ο αριθμός $\displaystyle{\sqrt[5]{\sqrt[3]{2}+\sqrt[2]{3}}}$ είναι ρητός ή άρρητος.

Φιλικά,
Μάριος

Για να δούμε και μία άλλη λύση με Β Λυκείου που είναι γρήγορη
και χωρίς πράξεις ουσιαστικά.

Εστω $x={\sqrt[5]{\sqrt[3]{2}+\sqrt[2]{3}}}$

Αν ο

είναι ρητός τότε θα είναι αναγκαστικά φυσικός
(δικαιολόγηση μετά)

Αλλά $1< \sqrt[3]{2}+\sqrt{3}< 4$

Αρα $1< x< \sqrt[5]{4}< 2$
ΑΤΟΠΟ.

Δικαιολόγηση.

$x^{5}=\sqrt[3]{2}+\sqrt{3}\Rightarrow x^{5}-\sqrt{3}=\sqrt[3]{2}\Rightarrow$

$\Rightarrow x^{15}-3x^{10}\sqrt{3}+9x^{5}-3\sqrt{3}=2\Rightarrow x^{15}+9x^{5}-2=3\sqrt{3}(x^{10}+1)\Rightarrow$

$\Rightarrow (x^{15}+9x^{5}-2)^{2}-27(1+x^{10})^{2}=0$

Τελικά ο

είναι ρίζα πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές με μεγιστοβάθμιο συντελεστή

.

Αρα αν είναι ρητός θα είναι ακέραιος

Συμπλήρωμα.συμπλήρωσα όλες τις πράξεις

Ρητός ή άρρητος

Ρητός ή άρρητος

Re: Ρητός ή άρρητος

Re: Ρητός ή άρρητος

Μέλη σε σύνδεση