Ρητές και άρρητες πλευρές

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Σε ένα ισοσκελές τραπέζιο, η περίμετρος έχει μέτρο ρητό αριθμό.
Αν προσθέσουμε ανά τρεις τις πλευρές του, βρίσκουμε ως άθροισμα έναν ρητό και δύο άρρητους.
(α) Πόσες πλευρές έχουν μέτρο άρρητο αριθμό;
(β) Υπάρχει περίπτωση ένα τέτοιο τραπέζιο να έχει εμβαδόν ρητό;

[Henri van Aubel]

α) Έστω η καθεμία από τις ίσες μη παράλληλες πλευρές, η μικρή βάση και η μεγάλη βάση.
Υποθέτουμε ότι άρα θα είναι Θα είναι επίσης και , άρα και Ομοίως καταλήγουμε με δύο άρρητες πλευρές, αν υποθέσουμε ότι ή π.χ

β) Το εμβαδόν ισούται με .

...κ.λπ θα μας πουν οι μαθητές. γίνεται άραγε να είναι ρητός; το αφήνω για 24 ώρες, αν θέλει ο θεματοδότης.

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

α) Έστω η καθεμία από τις ίσες μη παράλληλες πλευρές, η μικρή βάση και η μεγάλη βάση.
Υποθέτουμε ότι άρα θα είναι Θα είναι επίσης και , άρα και Ομοίως καταλήγουμε με δύο άρρητες πλευρές, αν υποθέσουμε ότι ή π.χ

β) Το εμβαδόν ισούται με .

...κ.λπ θα μας πουν οι μαθητές. γίνεται άραγε να είναι ρητός; το αφήνω για 24 ώρες, αν θέλει ο θεματοδότης.

To (β) ερώτημα, το οποίο πρόσθεσα τελευταία στιγμή, δεν είναι θεωρώ απλό να απαντηθεί. Κανονικά, το θέμα λόγω και του (β) ερωτήματος, έπρεπε να μπει στον φάκελο για μαθηματικούς διαγωνισμούς. Ωστόσο, ας το αφήσουμε εδώ, έστω και μετά την πιο πάνω επισήμανση.
Για να απαντήσουμε στο (β) ερώτημα, δίνω ως μια υπόδειξη, ότι ναι, είναι δυνατόν να υπάρξει τέτοιο τραπέζιο με εμβαδόν αριθμό ρητό, και ίσως η καλύτερη μέθοδος εργασίας είναι να βρούμε ένα παράδειγμα. (Με κατάλληλη μέθοδο, είναι εύκολο να βρούμε ένα τέτοιο παράδειγμα. Αν δεν απαντηθεί μέσα σε δύο μέρες, θα δώσω τον τρόπο εύρεσης του παραδείγματος)

Τώρα για το (α) ερώτημα, η απάντηση δεν είναι ότι οι πλευρές είναι μόνο δύο άρρητες. Αφήνω ακόμα επίσης δύο ημέρες για την πλήρη απάντηση και του (α) ερωτήματος