Μισό ημικυκλίου

KARKAR · #1

: Μισό ημικυκλίου.png (7.93 KiB) Προβλήθηκε 1165 φορές

$\bigstar$ Στο ημικύκλιο διαμέτρου

να "εγγράψετε" το ορθογώνιο SPQT

, του οποίου η βάση

,

να είναι τετραπλάσια του ύψους

. Καταλαμβάνει το ορθογώνιο τη μισή επιφάνεια του ημικυκλίου ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 15, 2022 5:26 pm
Μισό ημικυκλίου.png $\bigstar$ Στο ημικύκλιο διαμέτρου να "εγγράψετε" το ορθογώνιο , του οποίου η βάση ,

να είναι τετραπλάσια του ύψους . Καταλαμβάνει το ορθογώνιο τη μισή επιφάνεια του ημικυκλίου ;

Έστω

Θέτω

οπότε

Είναι ακόμα $AS = PB = \dfrac{{2R - 4a}}{2} = R - 2a \Leftrightarrow$ SB = R + 2a

: Μισό ημικυκλίου.png (10.35 KiB) Προβλήθηκε 1097 φορές

$\displaystyle T{S^2} = AS \cdot PB(*) \Leftrightarrow {a^2} = (R - 2a)(R + 2a) \Leftrightarrow a = \frac{R}{{\sqrt 5 }}$ (η κατασκευή είναι πλέον απλή).

$\displaystyle (SPQT) = 4{a^2} = \frac{{4{R^2}}}{5}$ και η μισή επιφάνεια του ημικυκλίου είναι $\displaystyle E = \frac{{\pi {R^2}}}{4},$ απ' όπου προκύπτει ότι

το εμβαδόν του ορθογωνίου καταλαμβάνει επιφάνεια μεγαλύτερη από τη μισή επιφάνεια του ημικυκλίου.

(*) Ο τύπος αυτός της Β' λυκείου βγαίνει και με τριγωνομετρία της Β' γυμνασίου (εφαπτόμενες ίσων γωνιών).

vassilis314 · #3

Αν

το κέντρο του κύκλου τότε ΠΘ στο STO

και έχουμε $R^2 = ST^2 + \left(\frac{SP}{2}\right)^2$ . Επειδή SP = 4 ST

έχουμε $R^2 = ST^2 + \left(2ST\right)^2 \LeftRightarrow R^2 = 5ST^2$

Εμβαδόν ορθογωνίου: $ST\cdot SP = 4ST^2$
Εμβαδόν μισού ημικυκλίου: $\frac{\pi}{4} R^2 = \frac{5 \pi}{4} ST^2= 3.925 ST^2$

Άρα Εμβαδόν ορθογωνίου > μισού ημικυκλίου

Μισό ημικυκλίου

Μισό ημικυκλίου

Re: Μισό ημικυκλίου

Re: Μισό ημικυκλίου

Μέλη σε σύνδεση