Δεν διαιρείται με το 13

#1

Αν $\displaystyle{X\neq Y}$ , να αποδείξετε ότι η διαφορά του εξαψήφιου αριθμού $\displaystyle{XXYYXX}$ από τον εξαψήφιο $\displaystyle{YYXXYY}$ , διαιρείται

πάντα με το $\displaystyle{11}$ , αλλά ποτέ με το $\displaystyle{13}$ .

(Για όσους έχουν υπομονή, να δείξουν επίσης ότι ο μόνος διαιρέτης της πιο πάνω διαφοράς, που είναι μεγαλύτερος από τον $\displaystyle{11}$ , είναι ο $\displaystyle{9901}$ )

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 05, 2022 9:54 pm
Αν $\displaystyle{X\neq Y}$ , να αποδείξετε ότι η διαφορά του εξαψήφιου αριθμού $\displaystyle{XXYYXX}$ από τον εξαψήφιο $\displaystyle{YYXXYY}$ , διαιρείται

πάντα με το $\displaystyle{11}$ , αλλά ποτέ με το $\displaystyle{13}$ .

(Για όσους έχουν υπομονή, να δείξουν επίσης ότι ο μόνος διαιρέτης της πιο πάνω διαφοράς, που είναι μεγαλύτερος από τον $\displaystyle{11}$ , είναι ο $\displaystyle{9901}$ )

Δημήτρη, γράφω λύση αλλά στα παρακάτω κάνω και μικρή διόρθωση της εκφώνησης.

Χωρίς βλάβη X>Y

. Είναι τότε

$\displaystyle{\overline {XXYYXX} -\overline {YYXXYY}= 10^4\overline {XX}+10^2\overline {YY}+\overline {XX}-10^4\overline {YY}-10^2\overline {XX}-\overline {YY}=$

$\displaystyle{=(10^4-10^2+1)(\overline {XX}-\overline {YY})=9901\cdot 11(X-Y)}$

Άρα ο αριθμός διαιρείται με το

. Δεδομένου ότι ο 9901

είναι πρώτος (ελεγμένο από τους πίνακες πρώτων του Τόγκα και από το Maple) o αριθμός δεν διαιρείται από τον πρώτο

.

Για το ότι δεν διαιρείται από άλλον μεγαλύτερο του

πρέπει να κάνουμε μικρή διόρθωση στην εκφώνηση. Πρώτα απ' όλα πέραν του 9901

, διαιρέτης είναι και ο $9901\cdot 11$ . Και ακόμη, για την περίπτωση του $442244-224422= 9901\cdot 11 \cdot 2$ διαιρέτης είναι και ο

.

Η σωστή εκφώνηση για να αποφύγουμε αυτά που εννοούνται από τα συμφραζόμενα είναι "ο είναι ο αμέσως μεγαλύτερος διαιρέτης πέραν του ο οποίος διαιρεί την διαφορά $\displaystyle{\overline {XXYYXX} -\overline { YYXXYY}$ για όλες τις επιλογές των ψηφίων .

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 06, 2022 11:26 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 05, 2022 9:54 pm
Αν $\displaystyle{X\neq Y}$ , να αποδείξετε ότι η διαφορά του εξαψήφιου αριθμού $\displaystyle{XXYYXX}$ από τον εξαψήφιο $\displaystyle{YYXXYY}$ , διαιρείται

πάντα με το $\displaystyle{11}$ , αλλά ποτέ με το $\displaystyle{13}$ .

(Για όσους έχουν υπομονή, να δείξουν επίσης ότι ο μόνος διαιρέτης της πιο πάνω διαφοράς, που είναι μεγαλύτερος από τον $\displaystyle{11}$ , είναι ο $\displaystyle{9901}$ )
Δημήτρη, γράφω λύση αλλά στα παρακάτω κάνω και μικρή διόρθωση της εκφώνησης.

Χωρίς βλάβη . Είναι τότε

$\displaystyle{\overline {XXYYXX} -\overline {YYXXYY}= 10^4\overline {XX}+10^2\overline {YY}+\overline {XX}-10^4\overline {YY}-10^2\overline {XX}-\overline {YY}=$

$\displaystyle{=(10^4-10^2+1)(\overline {XX}-\overline {YY})=9901\cdot 11(X-Y)}$

Άρα ο αριθμός διαιρείται με το . Δεδομένου ότι ο είναι πρώτος (ελεγμένο από τους πίνακες πρώτων του Τόγκα και από το Maple) o αριθμός δεν διαιρείται από τον πρώτο .

Για το ότι δεν διαιρείται από άλλον μεγαλύτερο του πρέπει να κάνουμε μικρή διόρθωση στην εκφώνηση. Πρώτα απ' όλα πέραν του , διαιρέτης είναι και ο $9901\cdot 11$ . Και ακόμη, για την περίπτωση του $442244-224422= 9901\cdot 11 \cdot 2$ διαιρέτης είναι και ο .

Η σωστή εκφώνηση για να αποφύγουμε αυτά που εννοούνται από τα συμφραζόμενα είναι "ο είναι ο αμέσως μεγαλύτερος διαιρέτης πέραν του ο οποίος διαιρεί την διαφορά $\displaystyle{\overline {XXYYXX} -\overline { YYXXYY}$ για όλες τις επιλογές των ψηφίων .

Καλημέρα Μιχάλη και καλές απόκριες.
Ναι, δεν είχα σκοπό να βάλλω την προσθήκη στην εκφώνηση, αφού είναι χρονοβόρο το να δούμε ότι ο 9901 είναι πρώτος. Έκανα όλες τις απαρίτητες διαιρέσεις και όταν είδα ότι είναι πρώτος, βιάστηκα να γράψω την προσθήκη. Πολύ σωστά, την διόρθωσες.

Δεν διαιρείται με το 13

Δεν διαιρείται με το 13

Re: Δεν διαιρείται με το 13

Re: Δεν διαιρείται με το 13

Μέλη σε σύνδεση