Σύγκριση αθροίσματος κλασμάτων με τη μονάδα

#1

Να συγκριθεί το άθροισμα $K=\dfrac{1}{34}+\dfrac{1}{35}+\dfrac{1}{36}+...+\dfrac{1}{100}$ με το

#2

Θα εφαρμόσουυμε την ιδέα του Gauss

Από το 34 έως το 66 υπάρχουν όσοι αριθμοί από το 34-33=1

έως το

, δηλ. 33.

Ομοίως, από το 68 έωςτο 100 υπάρχουν όσοι αριθμοί από το 68-67=1

έως το

, δηλ. 33.

Μπορούμε πάρουμε 33 ζευγάρια, αν ζευγαρώσουμε το $\dfrac{1}{34}$ με το $\dfrac{1}{100}$ , το $\dfrac{1}{35}$ με το $\dfrac{1}{99}$ ,..., $\dfrac{1}{66}$ με το $\dfrac{1}{68}$ , για να πάρουμε

$\begin{aligned} K&=\left(\dfrac{1}{34}+\dfrac{1}{100}\right)+\left(\dfrac{1}{35}+\dfrac{1}{99}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{66}+\dfrac{1}{68}\right)+\dfrac{1}{67}\\ &>\dfrac{2}{67}+\dfrac{2}{67}+\cdots +\dfrac{2}{67}+\dfrac{1}{67}\\ &=\dfrac{2\cdot 33+1}{67}\\ &=1 \end{align}$

αφού $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}>\frac{4}{x+y}$ για x>y>0

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Μια άλλη λύση, με κάποιες πράξεις, βασίζεται στο ότι από δύο ή περισσότερα κλάσματα με ίδιο αριθμητή μικρότερο είναι αυτό με τον μεγαλύτερο παρανομαστή. Έτσι

$\dfrac{1}{34}+\dfrac{1}{35}+...+\dfrac{1}{40}>\dfrac{7}{40}=0,175$

$\dfrac{1}{41}+\dfrac{1}{42}+...+\dfrac{1}{50}>\dfrac{10}{50}=\dfrac{1}{5}=0,2$

$\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+...+\dfrac{1}{60}>\dfrac{10}{60}=\dfrac{1}{6}>0,16$

$\dfrac{1}{61}+\dfrac{1}{62}+...+\dfrac{1}{70}>\dfrac{10}{70}=\dfrac{1}{7}>0,14$

$\dfrac{1}{71}+\dfrac{1}{72}+...+\dfrac{1}{80}>\dfrac{10}{80}=\dfrac{1}{8}=0,125$

$\dfrac{1}{81}+\dfrac{1}{82}+...+\dfrac{1}{100}>\dfrac{20}{100}=\dfrac{1}{5}=0,2$

Όμως 0,175+0,2+0,16+0,14+0,125+0,2=1

οπότε το άθροισμα όλων των κλασμάτων ξεπερνάει τη μονάδα.

Σχόλιο Η άσκηση αυτή λύνει το 3ο θέμα της α΄ λυκείου του φετινού Θαλή,κάτι που έδειξε ήδη ο Σωτήρης Λουρίδας εδώ. Ο Σωτήρης δίνει εκεί μία άλλη απόδειξη.

Σύγκριση αθροίσματος κλασμάτων με τη μονάδα

Σύγκριση αθροίσματος κλασμάτων με τη μονάδα

Re: Σύγκριση αθροίσματος κλασμάτων με τη μονάδα

Re: Σύγκριση αθροίσματος κλασμάτων με τη μονάδα

Μέλη σε σύνδεση